数据结构-五大基本算法-动态规划

最新推荐文章于 2024-06-18 17:40:11 发布

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#算法 #数据结构 #动态规划

这篇博客介绍了如何使用动态规划解决经典的0-1背包问题，通过一个实例展示了如何在Java中实现找到装入背包中物品的总价值最大化的算法。博主分享了一个可能不够精简的解决方案，并邀请读者分享更优的算法。

用于求解某种最优性质的问题，动态规划与分治法类似。

例题：

0-1 背包问题：有n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，其中wi 和 vi均为正整数，背包的容量为w，现需要考虑如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？分析一下：

目标函数：从i个物品累计求和 i个物品 = n 的总价值

约束条件：当 i个物品的重量 <=背包的容量，x 取值 0【不放入】，1 【放入】

分析下这三种情况：

第一种情况：如果 i=0 表示没有放入物体，w=0，表示重量为0 所以为 0

第二种情况：当当前物品的重量大于背包总重量，当前物体不放入背包

第三种情况，当当前物品的重量小于背包总重量，且判断，如果当前物品放入背包，求当前物品放入背包后的总价值或当前物品不放入背包，求背包可能容纳的总价值，MAX二者取一。

i 物品 \ W 重量	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
1	0	0	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
2	0	0	4	5	5	5	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9
3	0	0	4	5	5	5	10	10	10	14	14	14	14	19	19	19	19
4	0	0	4	5	5	5	10	11	11	14	15	16	16	19	21	21	21
5	0	0	4	5	5	5	10	13	13	14	15	17	18	19	21	23	24

分析表格：

当重量 w 越来越大时，我们可以判断物品 i 是否能放入每一次变化的递增+1 中，一共递增 17次，因为我们可容纳的重量是17

java 求出最优解：


/**
 * @Author wuxiaotian
 * @Date 2021/8/26 11:00
 * @Version C1.4
 */
public class Test03 {
     void OutPutKnapsackDp(int n,int W, int[] weights,int[] values,int[][] c){
         int[] x = new int[5]; //n 表示所有的 物品总数
         int i = 0;
         for ( i = n; i > 0; i--) {
             if(W - 1 >= 0) {
                 if (c[i][W - 1] == c[i - 1][W - 1]) { //重量为w 的最优选择的背包中不包含该物品 判断当前这个物品 放入和不放入价值相等得话 就不放入
                     x[i - 1] = 0; //不放入该物品
                 } else {
                     x[i - 1] = 1; //放入该物品
                     System.out.println("总总量：" + W + "当前物品重量：" + weights[i] + "剩余重量:" + (W - weights[i]));
                     W = W - weights[i]; //更新背包目前的最大容量 总容量 - 当前物品容量
                 }
             }
           
         }


         if(c[1][W] == 0){ //第一个物品不放入背包
             x[0] = 0;
         }else{
             x[0] = 1; //第一个物品放入背包
         }

         for (int j = 0; j <n; j++) {
             if(x[j] == 1){
                 System.out.println(String.format("重量为%d: 价值为%d:",weights[j+1],values[j+1]));
             }
         }
     }

    public static void main(String[] args) {
        Test03 test03 = new Test03();
        int n = 4; //物品个数
        int W = 17; //总容量
        int[] weights = new int[] {3,4,7,8,9};
        int[] values = new int[] {4,5,10,11,13};

        int [][] c =new int[5][17];
        c[0] = new int[] {0 ,0 ,4, 4 ,4 ,4, 4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4 ,4, 4};
        c[1] = new int[] {0 ,0 ,4, 5, 5, 5, 9, 9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9 ,9};
        c[2] = new int[] {0, 0, 4, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 14, 14, 14, 14, 19, 19, 19, 19};
        c[3] = new int[] {0, 0, 4, 5, 5, 5, 10, 11, 11, 14, 15, 16, 16, 19, 21, 21, 21};
        c[4] = new int[] {0, 0, 4, 5, 5, 5, 10, 13, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24};

        for (int i = 0; i <5; i++) {
            for (int j = 0; j < weights.length; j++) {
                c[i][j] = j;
            }
        }
        test03.OutPutKnapsackDp(n,W,weights,values,c);
    }
}

由于时间原因，以上算法可能不够精简，仅仅实现了功能，小伙伴们有更好的算法可以私聊我，一起学习丫