数据结构：可合并堆——左偏树_左偏树合并-优快云博客

今天做15icpc上海赛见一题左偏树写起来甚是困难, 记此贴加深印象, 原文出处:点击打开链接, 以下代码略做修改, 未用结构体.

左偏树是可合并的二叉堆，首先满足所有的堆的性质，其外，它还可以合并。

左偏树的树节点需要保存的信息有：

1.左右子树节点编号

2.此节点到有空子结点的结点的最短距离len

3.自身权值

首先解释一下什么是有空子节点的节点，就是子节点数不足2个的节点，空，就是没有的意思。

左偏树除了堆的所有性质，它还要满足的重要的性质就是“左偏”，这个性质保证了它的操作都是O(logn)的。

左偏就是每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len（但并不代表左子节点数一定不小于右子节点数），那么可知len[i] =len[rc[i]]+1，下面附上一张图会方便理解。

圈内是节点权值，蓝字就是len值。

探讨完性质之后，我们来看看它的操作。

堆可以做到的是：插入（O(logn)），查询最值（O(1)），删除堆顶（O(logn)）；

对于左偏树，这些操作都是基于合并的（除了查询最值），而且复杂度都仍然是O(logn)。

左偏树合并操作合并的是两棵左偏树，对于堆的插入，就是合并一棵树和一个节点，对于堆的删除，就是合并根的两棵子树。

那么我们就只需要知道左偏树的合并过程就可以了。

以小根堆为例，假如要合并A, B两个堆并且A < B（这个不满足的话只需要交换一下就可以），而且还要求两棵树的节点没有包含关系，就是没有相同的节点。在递归的过程中，比较B和A的右子树大小，如果B<A的右子树，那么交换B和A的右子树，接着将B看成刚刚的A，继续交换；如果B>A的右子树，那么继续找这颗树的右子树。而这样可能会破坏左偏的性质，所以需要在回溯的过程中维护左偏性质，通过交换左右子树完成。总的来说，左偏树的核心操作，合并，是在右子树上进行的，又因为要保证每个节点的左子节点的len不小于右子节点的len，而且有len[i] =len[rc[i]]+1，所以知道一棵左偏树的最大len是logn级别的，即使它是一条链，由于左偏性质，它会变成向左偏的一条链，而len的最大值是0，合并的复杂度很低。下面附上图会理解得更清晰：

int l[MAX_N], r[MAX_N], dist[MAX_N], q[MAX_N]; //q为键值

//初始化操作
init(){
 memset(l, 0,sizeof l);
 memset(r, 0, sizeof r);
 memset(dist, 0, sizeof dist);
}

int merge(int a, int b) {
	if (!a) return b; 
	if (!b) return a; //此处与上行交换会增加一次不必要的交换, 但是左偏树更新仍然正确
	if (q[a] > q[b])  swap(a, b);
	r[a] = merge(r[a], b);
	if (dist[r[a]] > dist[l[a]]) swap(l[a], r[a]);
	if (!r[a]) dist[a] = 0;
	else dist[a] = dist[r[a]] + 1;
	return a;
}

int del(int x){
  return merge(l[x], r[x]);
}

插入操作等同于一个结点和一棵树的合并, 相信看这篇博客都不需赘述.