EM算法原理及高斯混合模型

EM算法（Expectation Maximization Algorithm）是一种常用的参数估计方法，特别适用于含有隐变量的概率模型。而高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，简称GMM）是一种常用的概率模型，用于对数据进行聚类和密度估计。本文将详细介绍EM算法的原理，并结合高斯混合模型的案例进行说明。

1. EM算法原理

EM算法是一种迭代的优化算法，用于估计含有隐变量的概率模型的参数。它通过两个步骤交替进行，分别是E步（Expectation Step）和M步（Maximization Step）。

1.1 E步

在E步中，我们根据当前的参数估计值计算隐变量的后验概率。对于高斯混合模型而言，给定数据集和当前参数估计值，我们需要计算每个样本属于每个高斯分量的后验概率。这可以通过使用贝叶斯公式来实现：

P(z=k|x_i,\theta) = \frac{P(x_i|z=k,\theta)P(z=k|\theta)}{\sum_{j=1}^K P(x_i|z=j,\theta)P(z=j|\theta)}

其中，z表示隐变量，x_i表示第i个样本，K表示高斯分量的个数，\theta表示模型参数。

1.2 M步

在M步中，我们通过最大化完全数据的对数似然函数来更新参数估计值。对于高斯混合模型而言，完全数据的对数似然函数可以写为：