bzoj3027 [Ceoi2004]Sweet（生成函数+组合数学+爆搜）

最新推荐文章于 2019-09-15 09:44:09 发布

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本文介绍了一种通过生成函数和组合数学方法解决特定糖果组合计数问题的算法。该算法利用爆搜技术和二项式定理计算指定范围内糖果组合的数量，并通过模数处理大数运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先我们可以写出每一种糖果的生成函数，然后写成闭形式，乘起来，就得到了

\prod i = 1 n ( 1 - x m i + 1 ) ( 1 - x ) n

$\frac{\prod\limits_{i=1}^n(1-x^{m_i+1})}{(1-x)^n}$
答案就是

xa...xb $x^a...x^b$ 的系数和。
上式的分子部分我们可以

O(2n) $O(2^n)$ 爆搜，搜出每一项

kxy $kx^y$
考虑剩下的部分

(11−x)n $(\frac{1}{1-x})^n$ 可以二项式展开，也可以考虑写回生成函数考虑组合意义，可以得到

xi $x^i$ 的系数为

Cn−1n+i−1 $C_{n+i-1}^{n-1}$
因此我们搜到

kxy $kx^y$ 的时候，对答案的贡献就是

k∗(Cn−1n+a−y+1+...+Cn−1n+b−y+1) $k*(C_{n+a-y+1}^{n-1}+...+C_{n+b-y+1}^{n-1})$ ，可以用恒等式

Cm−1n+Cmn=Cmn+1 $C_n^{m-1}+C_n^m=C_{n+1}^{m}$ 来化简
得到

k∗(Cnn+b−y−Cnn+a−y−1) $k*(C_{n+b-y}^n-C_{n+a-y-1}^n)$ 。
至于模数不是质数，因为n很小，所以可以把模数*n!来做，最后再/n!。不会超ll。
复杂度

O(2nn) $O(2^nn)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 20
#define mod 2004
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,a,b,m[N],ans=0;
ll fac;
inline int C(int n,int m){
    if(n<m) return 0;ll Mod=mod*fac,res=1;
    for(int i=0;i<m;++i) res=res*(n-i)%Mod;
    return res/fac;
}
void dfs(int id,int f,int tot){
    if(id==n+1){
        ans+=f*(C(n+b-tot,n)-C(n+a-tot-1,n));ans%=mod;return;
    }dfs(id+1,f,tot);
    dfs(id+1,-f,tot+m[id]);
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();a=read();b=read();fac=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) m[i]=read()+1,fac*=i;
    dfs(1,1,0);if(ans<0) ans+=mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}