bzoj3122 [Sdoi2013]随机数生成器（BSGS+Hash表）

最新推荐文章于 2020-01-13 11:30:08 发布

Icefox_zhx

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分类专栏： bzoj ---------数学--------- BSGS 乘法逆元 Hash

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本文介绍了一种使用BSGS算法解决特定递推数列问题的方法，包括如何通过预处理找到最小的k使得ak≡b(mod p)，并给出了具体的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先把特殊情况特判掉。然后对于递推式 $x_{i+1}=ax_i+b$
我们可以搞一下通项: $x_{i+1}+\frac{b}{a-1}=a^i(x_1+\frac{b}{a-1})$ 。
可以看做 $a^k\equiv b\mod p$
其中 $b=\frac{t+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}\%p$
求最小的k，k+1就是答案。
这就是典型的BSGS的应用了。
复杂度 $O(T\sqrt{mod})$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100100
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(S==T) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int mod,m,h[N],num=0;
struct Hash_table{
    int next,key,val;
}data[N];
inline int ksm(ll x,int k){
    ll res=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%mod) if(k&1) res=res*x%mod;return res;
}
inline void ins(int key,int val){
    int x=key%N;
    for(int i=h[x];i;i=data[i].next){
        if(data[i].key==key) return;
    }data[++num].next=h[x];h[x]=num;data[num].key=key;data[num].val=val;
}
inline int hs(int key){
    int x=key%N;
    for(int i=h[x];i;i=data[i].next){
        if(data[i].key==key) return data[i].val;
    }return -1;
}
inline int BSGS(int a,int b){
    m=ceil(sqrt(mod));memset(h,0,sizeof(h));num=0;
    int inva=ksm(a,mod-2);ll x=b;
    for(int i=0;i<m;++i){
        ins(x,i);x=x*inva%mod;
    }int y=ksm(a,m);x=1;
    for(int i=0;i<=m;++i){
        int j=hs(x);
        if(j!=-1) return i*m+j;x=x*y%mod;
    }return -2;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    int tst=read();
    while(tst--){
        mod=read();int a=read(),b=read(),x1=read(),t=read();
        if(t==x1){puts("1");continue;}
        if(a==0){puts(t==b?"2":"-1");continue;}
        if(a==1){
            if(b==0){puts("-1");continue;}
            int ans=((ll)t-x1)*ksm(b,mod-2)%mod+1;
            if(ans<=0) ans+=mod;printf("%d\n",ans);continue;
        }int tmp=(ll)b*ksm(a-1,mod-2)%mod;
        b=((ll)t+tmp)*ksm((x1+tmp)%mod,mod-2)%mod;
        printf("%d\n",BSGS(a,b)+1);
    }return 0;
}