bzoj1019 [SHOI2008]汉诺塔（递推）

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本文介绍了一种优化的汉诺塔问题解决方案，通过定义操作优先级来确定唯一的操作序列，并利用动态规划思想实现O(n)的时间复杂度。文中详细解释了状态转移方程及其背后的逻辑。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

汉诺塔，不过规定了操作的优先级，即唯一确定了你的操作序列。
我们用f[x][i]表示把x柱子上的i个盘子移动到另一个柱子（这应该是唯一的，我们记作g[x][i]）所需的步数。
然后考虑f[x][i]，先把上面的i-1个挪到g[x][i-1],记作y，然后把i挪到z，这时候有两种情况：
1、g[y][i-1]==z 那么直接挪到z就好了，g[x][i]=z,f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]
2、g[y][i-1]==x 那么i-1个挪回x，i挪到y，此时i-1个一定会挪到y上，因此g[x][i]=y,f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1]
复杂度 $O(n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 50
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,g[3][N];//g[x][i],把x柱子上的i个盘都挪走会到的柱子
ll f[3][N];char s[N];//f[x][i],需要的步数 
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();memset(g,-1,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=6;++i){
        scanf("%s",s+1);int x=s[1]-'A',y=s[2]-'A';
        if(g[x][1]==-1) g[x][1]=y;
    }for(int i=0;i<3;++i) f[i][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        for(int x=0;x<3;++x){
            int y=g[x][i-1],z=3-x-y;
            if(g[y][i-1]==z) g[x][i]=z,f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1];
            else g[x][i]=y,f[x][i]=f[x][i-1]+1+f[y][i-1]+1+f[x][i-1];
        }
    }printf("%lld\n",f[0][n]);
    return 0;
}