luogu1004 【2000提高】方格取数(dp)

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定场景下重复路径计数问题的方法，通过优化算法复杂度，将原始O(n^4)的时间复杂度降低到O(n^3)。该问题涉及从起点到终点的所有可能路径中寻找不重复的路径数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这水题我居然还想了半天。。傻死我自己得了。首先要明确，两次从（1,1）走到（n,n）都需要走2*n步。所以可以两次一起走。对于一个点(m,n）两次都只可能在走第m+n步时经过，所以只需在当次判断是否重复，其他时候都绝对不会重复。朴素的是dp[x1][y1][x2][y2]，第一次走到x1,y1,第二次走到x2,y2. $O(n^4)$ ，优化一下，dp[k][i][j]，走到第i步了，第一次向下走了i步，第二次向下走了j步，则向右走了k-j步。 $O(n^3)$ 。。反正n==9，随意啦

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 10
int n,a[N][N],dp[N<<1][N][N];
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    while(1){
        int x,y,val;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
        if(x==0) break;
        a[x][y]=val;
    }
    for(int k=1;k<=n*2;++k)//一次走了k步。 
        for(int i=1;i<=k&&i<=n;++i)//第一次向下走了i步 
            for(int j=1;j<=k&&j<=n;++j){//第二次向下走了j步 
                dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j]));
                dp[k][i][j]+=a[i][k-i];
                if(i!=j) dp[k][i][j]+=a[j][k-j];
            }
    printf("%d\n",dp[n*2][n][n]);
    return 0;

}