C. Square Subsets（状压DP+二进制）

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题意：给定长度为n（<=1e5）的数组a（1<=ai<=70），找到有多少个非空组合的乘积为平方数，结果mod 1e9+7。

题解：CF895C Square Subsets（状压dp）。

• dp[i][j]表示的是什么，怎么更新。dp[75][1<<19]会MLE，每一层都只由上一层觉得，所以二维滚动数组即可
• i 表示的是1~70中的一个数，j 表示的是0~1<<19这些数（每个数表示一个组合：2,3,5,...的次数为奇数还是偶数）。dp[i][j]表示的是 i 更新完之后状态 j 的个数
• 注意：一定要清楚数组表示的意义，还有怎么更新得来，才更容易找出错误。

代码：

二维MLE代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define dbg(x) cout << #x << "===" << x << endl
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 1e18;
const int mod = 1e9 + 7;
const int M = 524288 + 10;  // 1<<19+10

int n, a[N], b[N], p[] = {2,  3,  5,  7,  11, 13, 17, 19, 23, 29,
                          31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67};
int h[N];
int dp[75][M];
void init() {
    h[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) h[i] = h[i - 1] * 2 % mod;
}
signed main() {
    init();
    cin >> n;
    int i, j, k;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
        b[a[i]]++;
    }
    dp[0][0] = 1;
    int I = 0;
    for (i = 1; i <= 70; i++) {
        I = i;
        if (b[i] == 0) {
            for (j = 0; j < (1 << 19); j++) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            continue;
        }  //不能断层！！！
        int t = 0, x = i;
        for (k = 0; k < 19 && x; k++) {
            while (x % p[k] == 0) x /= p[k], t ^= (1 << k);
        }
        for (j = 0; j < (1 << 19); j++) {
            dp[i][j ^ t] += dp[i - 1][j] * h[b[i] - 1] % mod;
            dp[i][j] += dp[i - 1][j] * h[b[i] - 1] % mod;
        }
    }
    int ans = (dp[70][0] - 1 + mod) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define dbg(x) cout << #x << "===" << x << endl
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int INF = 1e18;
const int mod = 1e9 + 7;
const int M = 524288 + 10;  // 1<<19+10

int n, a[N], b[N], p[] = {2,  3,  5,  7,  11, 13, 17, 19, 23, 29,
                          31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67};
int h[N];
int dp[2][M],
    I;  //关键点不在于是技术为还是偶数维，而是代表两个数组，一个位上一个状态，另一个位现在的状态
void init() {
    h[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) h[i] = h[i - 1] * 2 % mod;
}
signed main() {
    init();
    cin >> n;
    int i, j, k;
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
        b[a[i]]++;
    }
    dp[0][0] = 1;
    I = 0;
    for (i = 1; i <= 70; i++) {
        if (b[i] == 0) continue;
        I ^= 1;
        memset(dp[I], 0, sizeof(dp[I]));  //这个好
        //用上一位更新这一位
        // dp[I^1][j]表示的是前i-1个数所组合的j（j的二进制从小到达位数表示的是相应质数的个数）的个数
        //比如j=12=1100B表示的就是2，3的次数为偶数，5，7的次数为奇数
        int t = 0, x = i;
        for (k = 0; k < 19 && x; k++) {
            while (x % p[k] == 0) x /= p[k], t ^= (1 << k);
        }
        for (j = 0; j < (1 << 19); j++) {
            dp[I][j ^ t] += dp[I ^ 1][j] * h[b[i] - 1] % mod;
            dp[I][j] += dp[I ^ 1][j] * h[b[i] - 1] % mod;
            //注意是+=，不是=，因为这一层j或者j^t从上一层更新的条件都不一定是唯一的
        }
    }
    // dbg(I);
    int ans = (dp[I][0] - 1 + mod) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}