背包问题

一、 问题描述

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

具体描述:有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二、 算法描述及代码实现

算法描述：通过问题的详细描述，对于背包问题，本次实验采用回溯算法的思想实现。

在代码实现之前阐述一下回溯算法的思想：

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为：

1、定义一个解空间，它包含问题的解。

2、利用适于搜索的方法组织解空间。

3、利用深度优先法搜索解空间。

4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

编译环境：c++    编译工具：codeblocks

代码实现：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>
using namespace std;
int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值
int p[100],w[100],x[100],bestx[100];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况
void Backtrack(int i,int cp,int cw){//cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值(核心函数)
    if(i > n){//结束回溯
        if(cp > bestp){
            bestp = cp;
            for(int i = 0;i < n;i++)
                bestx[i] = x[i];
        }
    }
    else
    for(int j = 0;j <= 1;j++){
        x[i] = j;
        if(cw+x[i]*w[i] <= c){
            cw += w[i] * x[i];//每个解向量的分量的c与当前的w[i]和前一个解向量分量的cw有关
            cp += p[i] * x[i];
            Backtrack(i+1,cp,cw);//递归调用
        }
    }
}
int main() {
     int i;
     bestp=0;
     cout<<"输入物品个数:"<<endl;
     cin>>n;
     cout<<"输入背包最大容量:"<<endl;
     cin>>c;
     cout<<"依次输入物品的重量:"<<endl;
     for(i=1;i<=n;i++)
         cin>>w[i];
     cout<<"请依次输入物品的价值:"<<endl;
     for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>p[i];
     Backtrack(1,0,0);
     cout<<"最大价值为:"<<endl<<bestp<<endl;
     cout<<"物品的选中情况依次为（0表示没有被选中，1表示被选中）"<<endl;
     for(i=1;i<=n;i++)
        cout<<bestx[i];
     cout<<endl;
    return 0;
 }</span>

初始条件：

物品数量n；背包最大容量：c；物品依次的重量：w[i]；物品依次的价值p[i]。

博客地址：http://blog.youkuaiyun.com/it_faquir/article/details/50436894

三、 学习该算法心得

    回溯算法以“不进则退，能进则进“ 的思想，大大优化了深度优先搜索。无论是本次实验的背包问题还是八皇后问题、装载问题等等都是很好的算法选择。