一文彻底搞懂递归、备忘录、动态规划

• 递归：

        递归算法是一类非常常用的算法，它是一种直接或间接调用原算法本身的算法。递归算法最大的特点就是“自己调用自己”，对于一些具有递归特性的问题，使用递归算法来解决会更加简单明了，且易于实现。

        在使用递归算法解决实际的问题时，要自顶向下地将一个大问题拆分成同类的小问题，然后利用同类问题这一特性构造出解决问题的递归函数，也就是这种“自己调用自己”的模型，再通过程序实现这个递归函数。

         下面通过一个实例理解递归算法。

        走楼梯问题：一个楼梯共有10级台阶，一个人从下往上走，他可以一次走一个台阶，也可以一次走两个台阶。请问这个人有多少种走法走完这10级台阶？

        这是一道经典而有趣的算法题，本题有很多种解法，其中最为经典而简洁的解法是使用递归算法解决。我们先来看一下如何使用递归法求解此题。

        因为这个人一次可以走一个台阶，也可以走两个台阶，所以他可以有很多种组合方法走完这10级台阶。例如可以如图（1）所示这样上楼：

        走法一：1--> 1-->1--> 1-->1--> 1-->1--> 1-->1--> 1，如图（1）所示：

也就是每步都走一个台阶。

可以如图（2）所示这样上楼：

走法二：2-->1--> 1-->1--> 1-->1--> 1-->1--> 1，如图（2）所示。

        也就是先上两级台阶，再一步一个台阶地上8个台阶。

        这样看来，这个人可以有很多种方式走完这10个台阶，那么我们要如何计算共有多少种走法呢？

        试想如果这个人要走到第10级台阶，必然存在且仅存在以下两种情形：

        （1）此人先登到第8级台阶上，然后在第8级台阶处向上直接登2个台阶，而不经过第9级台阶，如图（3）所示；

 （2）此人登上了第9级台阶，再向上登1级台阶即可到顶，如图（4）所示。

         有的读者可能会有这样的质疑：“此人