357. 统计各位数字都不同的数字个数

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本文介绍了如何解决LeetCode上的一个题目，计算n位数字中每位数字各不相同的整数个数，通过递推和组合数学的方法给出解决方案。

357. 统计各位数字都不同的数字个数https://leetcode.cn/problems/count-numbers-with-unique-digits/

当 n = 0 时， $0\leq x< 1$ ， $x$ 只有这一种选择，

当 n = 1 时， $0\leq x<10$ , $x$ 有 $10$ 种选择

当 n=2 时， $0\leq x <100$ 的选择可以由两部分构成：只有一位数的 $x$ 和有两位数的 $x$ 。只有一位数的 $x$ 可以由上述的边界情况计算。有两位数的 $x$ 可以由组合数学进行计算：第一位的选择有 9 种，即 1∼9，第二位的选择也有 9 种，即 0∼9 中除去第一位的选择。

更一般地，含有 $d \left (2\leq d\leq 10 \right )$ 位数的各位数字都不同的数字 $x$ 的个数,

可以由公式 $9\cdot A _{9}^{d-1}$ 再加上含有小于 $d$ 位数的各位数字都不同的数字 $x$ 的个数，

即可得到答案。

class Solution {
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        if (n == 1) {
            return 10;
        }
        int ans = 10, cur = 9;
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            cur *= 9 - i;
            ans += cur;
        }
        return ans;
    }
};