堆排序（Python）

最新推荐文章于 2021-07-01 22:22:53 发布

NLP_victor

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分类专栏：算法卡片文章标签：堆堆排序

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1、堆

堆是一个完全二叉树。
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

2、堆的操作

2.1、往堆中插入一个元素

堆化（heapify）

下图是从下往上的堆化，在结尾插入一个元素22

2.2、删除堆顶元素

删除堆顶的元素之后，把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。

3、堆排序

借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序。时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且还是原地排序算法（所谓“原地”，就是不借助另一个数组，就在原数组上操作。）。
堆排序的过程大致分解成两个大的步骤：建堆和排序。

3.1、建堆

下图中，从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

对下标从 n/2 开始到 1 的数据进行堆化，下标是 n/2+1 到 n 的节点是叶子节点，我们不需要堆化。实际上，对于完全二叉树来说，下标从 n/2+1 到 n 的节点都是叶子节点。

建堆的时间复杂度就是 O(n)

3.2、排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。

数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。

这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。

堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法。

堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)

所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

'''建堆'''
def buildMaxHeap(a):
    import math
    # 对下标从n/2开始到0的数据进行堆化，因为之后的节点都是叶子节点
    for i in range(math.floor(len(a)/2), -1, -1):  # 下舍整数：8.7为8
        heapify(a, i, len(a))

'''堆化'''
def heapify(a, i, length):  # length作为参数，有助于在堆排序时改变堆的大小
    # 堆的下标从0开始
    left = 2*i+1
    right = 2*i+2
    largest = i
    # 看此非叶子节点的左右孩子是否比其大，取最大的交换
    if left < length and a[left] > a[largest]:
        largest = left
    if right < length and a[right] > a[largest]:
        largest = right

    if largest != i:
        swap(a, i, largest)
        heapify(a, largest, length)  # 递归：看孩子的孩子节点

def swap(a, i, j):
    a[i], a[j] = a[j], a[i]
'''堆排序'''
def heap_sort(a):

    length = len(a)  # 堆的下标范围[0, len(a)-1]
    buildMaxHeap(a)
    # 从len(a)-1到1
    for i in range(len(a)-1, 0, -1):
        swap(a, 0, i)  # 将堆顶的元素（最大数），放在数组的末尾
        length -= 1  # 堆中元素-1
        heapify(a, 0, length)  # 对第0位元素进行堆化
    return a
if __name__ == "__main__":
    a1 = [3, 5, 6, 7, 8]
    a2 = [2, 2, 2, 2]
    a3 = [4, 3, 2, 1]
    a4 = [5, -1, 9, 3, 7, 8, 3, -2, 9]
    a5 = [1]
    heap_sort(a1)
    print(a1)
    heap_sort(a2)
    print(a2)
    heap_sort(a3)
    print(a3)
    heap_sort(a4)
    print(a4)
    heap_sort(a5)
    print(a5)