CDQ分治+ DP BZOJ 1492 Cash

本文详细解析了NOI2007货币兑换Cash问题的解决方案,通过CDQ分治算法实现最优货币兑换策略。文章提供了完整的C++代码实现,并介绍了如何维护凸包以更新最优解。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目链接:[NOI2007]货币兑换Cash

分析请见CDQ论文: 从《Cash》谈一类分治算法的应用

代码如下:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int maxn=200000+5;
const double inf= 999999999999.00, eps= 1e-9; 

int n,S;
int Q[maxn],rear;
double f[maxn];

struct node{
	int id;
	double x,y,a,b,k,rate;
	// x: 第一种商品的数量 y: 第二种商品的数量. 
	bool operator < (const node p) const {    // 按斜率 k= - a[i]/b[i] 降序排序 .
		return k > p.k;  	
	}
	void put(){
		cout<<x<<" "<<y<<endl; 
	} 
}s[maxn],temp[maxn];

double slope(int A,int B){
	if(B==0) return  -inf;
	if( fabs(s[A].x-s[B].x)< eps ) return inf;
	return (s[A].y-s[B].y) / (s[A].x-s[B].x);
}

void Solve(int L,int R){
	if(L==R){
		f[L]= max(f[L],f[L-1]);
		s[L].y= f[L]/(s[L].rate*s[L].a+s[L].b);
		s[L].x= s[L].y*s[L].rate;
		return ;
	}
	int mid= (L+R)>>1;
	int i=L,j=mid+1,p;
	// 按照原序排序,保证左边能更新右边,而且左右区间中 k= -a[i]/b[i]  也是分别递减的.
	for(p=L;p<=R;p++){
		if(s[p].id<=mid) temp[i++]= s[p];
		else temp[j++]= s[p];
	}
	for(i=L;i<=R;i++)s[i]= temp[i];
	Solve(L,mid);
	//维护左边的凸包,左区间已经按照x排好序.
	rear=0; 
	for(i=L; i<=mid; i++){
		while(rear>1 && slope(Q[rear],Q[rear-1])< slope(Q[rear-1],i)+eps) rear--;
		Q[++rear]= i;
	} 
	Q[++rear]=0; 
	// 用左区间更新右区间 
	for(i=mid+1, j=1 ;i<=R;i++){
		while(j<rear && slope(Q[j],Q[j+1])+eps > s[i].k) j++;
		//cout<< Q[j]<<" -> "<<s[i].id<<" "<<Q[j+1]<<" "<<s[i].k<<endl; 
		//s[Q[j]].put();
		f[s[i].id]= max(f[s[i].id], s[Q[j]].x*s[i].a+s[Q[j]].y*s[i].b);
	}
	Solve(mid+1,R);
	//按照 x值大小归并排序
	i=L; j=mid+1;
	for(p=L;p<=R && i<=mid && j<=R;p++){
		
		if(s[i].x<s[j].x || (fabs(s[i].x-s[j].x)<eps && s[i].y<s[j].y)) temp[p]= s[i++];
		else temp[p]= s[j++];
	} 
	while(i<=mid) temp[p++]= s[i++];
	while(j<=R) temp[p++]= s[j++];
	for(i=L;i<=R;i++) s[i]=temp[i];
}

int main(){
	int i,j;
	scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf%lf%lf",&s[i].a,&s[i].b,&s[i].rate);
		s[i].id=i; s[i].k= -s[i].a/s[i].b;
	}
	sort(s+1,s+1+n);
	Solve(1,n);
	//for(i=1;i<=n;i++)
	printf("%.3lf\n",f[n]);
	return 0;
}


<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:例如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 例如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治的时间复杂度分析?" 确保回答真实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举例子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。例如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。例如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 例如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。例如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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