ID246783的博客

实分析入门（12）--可测函数

ID246783 — Tue, 02 Jun 2026 22:13:50 +0800

文章摘要本文介绍了实分析中可测函数与简单函数逼近的基本概念。从集合可测性过渡到函数可测性，定义了可测函数的核心特征：Borel集的逆像保持可测性。重点阐述了通过上水平集检验函数可测性的等价条件，并给出了详细证明过程。文章还比较了Lebesgue积分与Riemann积分的区别，解释了可测函数在积分理论中的重要性。最后将概念推广到一般可测空间之间的映射，并与拓扑学中的连续函数概念进行类比。这些内容为后续Lebesgue积分的定义奠定了理论基础。

实分析入门（11）--Cantor三分集

ID246783 — Mon, 01 Jun 2026 15:46:28 +0800

摘要： Cantor集是通过不断移除区间中间三分之一构造的经典集合，具有反直觉性质：构造：逐步移除[0,1]区间中所有形如“中间三分之一”的开区间，剩余的交集即Cantor集。性质：闭集且紧致：作为闭集的无限交，且包含于[0,1]。零测度：每一步剩余部分测度趋于0（$(2/3)^n \to 0$）。不可数性：通过三进制展开（仅含0和2）与二进制对应，建立到[0,1]的单射，证明其基数与连续统相同。反直觉结论：Cantor集展示了“长度为零但点数不可数”的现象，区分了测度与基数意义上的“大小”。

实分析入门（10）--Lebesgue-Stieltjes测度

ID246783 — Mon, 01 Jun 2026 13:31:10 +0800

本文摘要：本文介绍了实分析中构造$\mathbb R$上Borel测度和Lebesgue-Stieltjes测度的方法。主要内容包括：使用左开右闭区间定义半开区间代数$\mathcal A$，它生成的$\sigma$-代数恰好是Borel $\sigma$-代数$\mathcal B_{\mathbb R}$。通过递增右连续函数$F$定义预测度$\mu_0$，其中$\mu_0((a,b])=F(b)-F(a)$。这种构造推广了传统长度概念，例如取$F(x)=x$时得到普通Lebesgue测度。证明了

实分析入门（9）--外测度与测度的构造

ID246783 — Sun, 31 May 2026 18:51:39 +0800

摘要：本文介绍了实分析中外测度与Lebesgue测度的构造方法。外测度是通过简单集合（如区间、矩形）覆盖复杂集合，取覆盖总代价的下确界来定义的。它满足空集为零、单调性和可数次可加性。Carathéodory可测性条件用于筛选表现良好的集合，满足该条件的集合构成σ-代数。Carathéodory定理证明，外测度限制在该σ-代数上就是一个完备测度，从而构造出Lebesgue测度。这一过程实现了从直观的"外部覆盖"思想到严格测度理论的转变。

实分析入门（8）--测度

ID246783 — Thu, 28 May 2026 15:16:54 +0800

这篇文章摘要如下：本文系统介绍了测度论的基本概念和性质。首先从可测集和σ-代数的概念出发，正式定义了测度作为满足空集测度为零和可数可加性的函数。文章详细讨论了测度的关键性质，包括有限可加性、单调性和次可加性，并通过构造不相交集合的方法证明了这些性质。特别介绍了两种重要的测度类型：有限测度和σ-有限测度。文中给出了Dirac测度和Lebesgue测度两个典型例子，说明了测度概念的实际应用。最后阐述了Lebesgue测度的平移不变性这一核心特征，为后续测度论研究奠定了基础。全文逻辑严谨，通过数学证明和直观解释

实分析入门（7）--σ代数

ID246783 — Mon, 25 May 2026 23:13:10 +0800

本文从实分析中的测度理论出发，探讨了σ-代数的必要性及其构造方法。首先通过维塔利集的例子说明，若要在实数集上定义满足平移不变性、可数可加性且μ([0,1))=1的测度，则不能将2^ℝ作为定义域。为此引入σ-代数的概念——对可数并、补集封闭的集合族，并证明这是保证测度可数可加性的最小要求。进一步阐述了如何从基本可测集（如开集）生成最小σ-代数（如Borel σ-代数），从而构建合理的测度定义域。这种构造既保留了关键性质，又规避了不可测集的矛盾。

实分析入门（6）--可数？不可数？

ID246783 — Mon, 18 May 2026 17:43:15 +0800

在第 0 章里，我们终于从自然数一路构造到了实数，并且证明了实数最核心的完整性：最小上界性质。。比如区间01的长度应该是1，矩形的面积应该是长乘宽，球的体积应该符合我们几何课里熟悉的公式。可是如果给你一个非常奇怪的集合，比如你可能听过的 Cantor 集（在后面的blog里会详细说到，现在看个名字就行qwq），甚至更糟糕一点的不可测集合，我们还能不能给它一个“长度”呢？测度理论就是为了回答这个问题而出现的。它想做的事情很简单：把“长度、面积、体积”这些概念推广成一个统一的东西，叫做。

实分析入门（5）--确界

ID246783 — Tue, 05 May 2026 16:54:33 +0800

本文介绍了实分析中的最小上确界定理及其证明过程。首先定义了上界和最小上界的概念，并通过例子说明其性质。随后详细证明了最小上界存在定理，分为三个部分：1) 构造性证明存在特定上界；2) 证明相关序列为柯西列并收敛于同一极限；3) 验证该极限即为最小上界。最后应用该定理证明了√2的存在性，通过构造集合E={y∈R|y>0且y²<2}并证明其最小上界满足x²=2，展示了实数系的完备性。全文以严谨的数学推导展示了实数与有理数的关键区别。

实分析入门（4）--绝对值&实数

ID246783 — Tue, 05 May 2026 15:01:53 +0800

本文从有理数的局限性出发，探讨了实数概念的引入。通过证明√2不是有理数，揭示了有理数系存在"缝隙"。为了描述这些缝隙，文章首先定义了绝对值（|x|）和距离（d(x,y)=|x-y|），并验证了其基本性质，包括重要的三角不等式。基于距离概念，提出了ε-接近的定义，为后续极限理论奠定基础。文章还证明了一个关键结论：尽管√2不是有理数，但可以用有理数列无限逼近它（如1.4,1.41,...），这暗示了需要更完备的数系——实数系来填补有理数的"缝隙"。这些内容为实分析的学习建

实分析入门（3）-- 有理数&除法

ID246783 — Mon, 04 May 2026 16:30:05 +0800

本文系统介绍了有理数的构造与性质。首先通过定义形如a/b的表达式（b≠0）引入有理数，并规定相等条件ad=bc。随后定义了有理数的加法、乘法和负号运算，并验证了这些运算的良定性。文章指出有理数不仅满足交换环的所有代数性质，还因为每个非零元素都有倒数而构成域。在此基础上定义了除法运算，即乘以倒数。最后讨论了有理数的顺序关系，定义了正负有理数及大小比较，证明其满足三歧性、传递性等基本性质。通过这一系列构造，有理数系实现了四则运算封闭性和顺序关系的完备性。

实分析入门（2）-- 整数&减法

ID246783 — Tue, 28 Apr 2026 23:29:24 +0800

本文从自然数减法运算不封闭的问题出发，系统介绍了整数的构造过程。通过定义形如a-b的表达式作为整数，并规定其相等条件(a+d=b+c)，巧妙避免了循环论证。文章详细阐述了整数加法和乘法的良定义性证明，说明了自然数可嵌入整数集(n≡n-0)。在引入相反数定义后，建立了整数的三岐性定理，证明了整数构成交换环的代数性质。最后正式定义了减法运算(x-y:=x+(-y))，并讨论了整数的大小关系，展示了整数作为完备数系的优越性。全文严谨地构建了整数理论体系，为后续数学分析奠定基础。

实分析入门（1）--皮亚诺和自然数

ID246783 — Fri, 10 Apr 2026 23:08:56 +0800

摘要：本文从皮亚诺公理出发，系统地介绍了自然数的构造过程。通过五条公理（后继运算、后继唯一性、0的存在性、0非后继、数学归纳法）定义了自然数集合。随后基于递归定义构造了加法运算，并详细证明了1+1=2等基本运算。最后运用数学归纳法证明了加法交换律，通过建立关键引理（0+m=m+0和m+(n++)=(m+n)++）完成了严格证明。全文展现了如何从最基础的公理出发，逐步构建自然数及其运算体系的过程。

关于反向传播

ID246783 — Mon, 20 Oct 2025 22:57:58 +0800

文章摘要：本文通俗地解释了神经网络中的反向传播算法。通过一个简单神经网络示例，作者展示了如何计算权重和偏置对成本函数的影响。核心思想是使用链式法则分步计算梯度，从输出层逐步回传到输入层。文章详细推导了各层参数的偏导数公式，并发现了一个可以递推计算的公共项δ，这正是反向传播高效计算梯度的关键。这种从后向前逐层计算误差贡献的方法，使得神经网络能够高效地调整参数以最小化误差。

数学分析--实数系的连续性

ID246783 — Sun, 31 Aug 2025 15:13:04 +0800

最大数：若∃ξ∈S，对于∀xinS，有x≤ξ，则ξ是S中的最大数，记为ξmaxS最小数：若∃η∈S，对于∀x∈S，有x≥η，则η是S中的最小数，记为ηminSS⊂RS非空，若S是有限集，则S必有最大数和最小数，若S是无限集，则不一定有最大数和最小数。

数学分析--集合&映射

ID246783 — Sat, 16 Aug 2025 15:34:36 +0800

自变量的最大取值范围叫做初等函数的自然定义域如果一个初等函数后面没写定义域，那么默认定义域为它的自然定义域。

kaggle competition--房价预测（线性回归）

ID246783 — Sun, 15 Sep 2024 15:01:56 +0800

这里用linearregression的方式来搞一下预测房价问题，这是在kaggle的一个比赛不限期可以随时提交。

机器学习--VGG

ID246783 — Sat, 14 Sep 2024 20:08:20 +0800

我们已经见过了LeNet和AlexNet，一个是3层，一个是7层，那么如果我们想实现一些更多层的神经网络要怎么办呢，还是手动开每一层吗？显然不能这么原始，所以我们想到了一件事：为社么不试试for循环呢qwq这就是vgg的本质了。

机器学习--AlexNet

ID246783 — Sat, 14 Sep 2024 16:14:43 +0800

这个netnetnet其实就是比LeNetLeNetLeNet# 第一阶段# 第二阶段# 第三阶段# 第四阶段net.add(nn.Dropout(.5)) # 50% 的概率的丢掉但期望不变# 第五阶段# 第六阶段net.add(nn.Dense(10)) # 真实的AlexNet是1000 但是我们这里还是用的mnist 所以就是10print(net)我们可以看看打印出来的netnetnet然后我把LeNetLeNetLe。

机器学习--卷积神经网络（包括python实现）

ID246783 — Fri, 13 Sep 2024 17:02:14 +0800

首先我们要知道channel是什么意思，。我们来举个例子，在计算机视觉中，如果一张图片是黑白的，那么每个像素点都是有一个信息也就是这个像素点的灰度。但是对于一张彩色图片来说，每个像素点都是由三个信息叠加而成的，也就是RBG三个颜色的“灰度”。于是我们对黑白照片操作变成矩阵的时候，我们就会直接将灰度拿来用，把它变成一个二维的矩阵。而对于彩色照片来说，我们就会建立一个高为3的三维张量来存储这个图片。这里的所谓“高度3”就是我们的channel。

python 实现的 softmax regression

ID246783 — Fri, 13 Sep 2024 16:20:13 +0800

很简单的模型，就只有一层DenselayerDense \;layerDenselayerdef accuracy(output, label): # 计算拟合的准确度return nd.mean(output.argmax(axis = 1) == label).asscalar() # argmax是把每一列的最大概率的index返回出来然后和label比较是否相同最后所有求个meanacc = 0.这里的softmaxcrosse。