8596 最长上升子序列（优先做）

题目

Description
当元素 ai1 < ai2 < … < aiK. 就说这个序列是有序上升的。

给定序列(a1, a2, …, aN)，存在许多这样的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，
其中1 <= i1 < i2 < … < iK <= N.
也就是说，子序列是原序列允许挑选若干不连续的元素形成的序列。

举个例子，序列 (1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) 就有许多个上上子序列，比如(1, 7), (3, 4, 8) 等。
所有这些上升子序列中最长的长度为4，比如 (1, 3, 5, 8).

你来编程实现，当给定一个初始序列，寻找这个序列的最长上升子序列。

输入格式
此例包含多个测试cases（少于100组test cases）。
每一组test case包含2行。
第一行是这组case的序列长度 N。（N的范围0~10000）
第二行包含 N个整数的一个序列，用空格间隔这N个整数， 1 <= N <= 10000。

当N为0时，表示测试结束。

输出格式
输出必须对每个test case，都有一个整数结果，表示这组case的最长上升子序列的长度。

输入样例
7
1 7 3 5 9 4 8
6
1 8 3 6 5 9
5
1 2 3 4 5
0

输出样例
4
4
5

提示

一，对输入字符串的处理

注意：这道题和其他题的输入输出不同,这题是接收多组数据而非单组,以0来判别结束。
大家在接受数据的时候，不要用(c=getchar())!=‘\n’诸如此类一个字符一个字符接受，
然后判断是否是回车符号来结束一行的输入，这样的方式在你本机运行不会有问题，
但OJ系统中会有错误，无法输出结果，因为测试平台行末并非’\n’字符。
这里接受数据用scanf的%d或%s，或cin等，会自动判别结束字符的，你就不要在你程序
里专门去判别或吸收回车字符。

对于最后一组数据输入为0表示结束，只要判断接受的第一个字符是否为0且字符串长度
为1就结束，无须去处理回车字符。

输入的序列可以用整型数组或字符串数组保存。

二，算法的动态规划思想

考虑采用动态规划算法，针对每个元素，以该元素结尾的最长有序子序列作为子问题，
计算出每个子问题的最大长度用“表”记录下来。先写出递推关系式再编程实现。

设f(i)表示：从左向右扫描过来直到以a[i]元素结尾的序列，可获得的最长上升
子序列的长度，且最长上升子序列包含a[i]元素（1<=i<=n）。

（这里大家思考一下，为何要这样假设子问题和子问题最优解f(i)？
有同学问：为何最长上升子序列要包含a[i]元素（1<=i<=n）？
因为你所设的子问题要和更下一级子问题关联起来。如果长度为i序列的最长上升
子序列中没有规定包含a[i]元素，那如何和其前缀的最长上升子序列问题关联起来
呢？因为你没法确认你前缀的最长上升子序列最后一个字符在哪里？上升子序列的
边界在哪不知道的话，很难和更小规模的子问题联系起来，显然是比较麻烦的。）

f(i)是从f(1),f(2), ……到f(i-1)中找最大的一个值，再加1，或者就是1。
这主要得看a[i]这个元素能否加入到之前已经获得的最长上升子序列当中去，
如果能加入，是之前已获得的最长上升子序列长度加1；
如果不能加入，就开始一个新的上升子序列，长度为1。
最后，所要求的整个序列的最长上升子序列长度为 max{ f(i): 1<=i<=n }

f(i)的递推公式如下：
（1）f(i) = 1 当i=1;
（2）f(i) = max{f(j)+1} 当i>1, 对某个前面的j(1<=j<i), 有a[j]<a[i];
（3）f(i) = 1 当i>1, 对任意j(1<=j<i), 都有a[j]>=a[i]

例子，对于序列：4 2 6 3 1 5 2
i = 1 2 3 4 5 6 7
a[i] = 4 2 6 3 1 5 2
f(i) = 1 1 2 2 1 3 2

这里max{f(i)}=3为原问题所求的最长上升子序列的长度。

效率分析：
f(i)的计算不超过O(n)，因此，整个算法为O(n^2)。

题解

acwing题解

代码

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 10010;
int a[N], dp[N];
//  思路：dp[i]表示以a[i]为结尾的最长上升子序列的长度，状态转移到序列中倒数第二个元素的长度
int main()
{
    int n;
    while(cin >> n && n){

        for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; j++)
                if(a[j] < a[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, dp[i]);
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}