剑指Offer||变态跳台阶

剑指Offer-09 变态跳台阶

题目描述： 一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级……也可以跳n级。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。

分析：

用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义，Fib(0)肯定需要为0，否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1；n = 0是特殊情况，通过下面的分析就会知道，强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题，但是会影响我们下面的分析理解。

当n = 1 时， 只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;

当n = 2 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = 2;

到这里为止，和普通跳台阶是一样的。

当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，对应Fib(3-1)种跳法； 第一次跳出二阶后，对应Fib(3-2)种跳法；第一次跳出三阶后，只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;

当n = 4时，有四种方式：第一次跳出一阶，对应Fib(4-1)种跳法；第一次跳出二阶，对应Fib(4-2)种跳法；第一次跳出三阶，对应Fib(4-3)种跳法；第一次跳出四阶，只有这一种跳法。所以，Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。

当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法…第一次跳出n阶后，后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+…+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…+Fib(n-1)。

通过上述分析，我们就得到了通项公式：

​ Fib(n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…+ Fib(n-2) + Fib(n-1)

因此，有 Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1) =====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

这就是我们需要的递推公式：Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        //递归
        if(number == 0||number == 1)
            return number;
        return 2*jumpFloorII(number-1);
        //非递归
        int f[number+1];
        f[1] = 1;
        f[2] = 2;
        for(int i=3;i<=number;i++)
        {
            f[i] = 2*f[i-1];
        }
        return f[number];
    }
};