Wand FZU - 2282 错排公式 + 组合

最新推荐文章于 2019-04-13 15:55:23 发布

finalrgy

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文章标签：排列组合

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Hrbust_Final/article/details/80361549

本文探讨了错排问题，即n个元素的排列中所有元素都不在原来位置的计数问题。通过实例说明了如何计算D(n)，并给出了递推公式D(n)=(n-1)[D(n-2)+D(n-1)]，特别地D(1)=0,D(2)=1。此外还提供了使用C++代码进行打表找出规律的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。

如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)】

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

开始我并不知道这个公式，先打表找下规律，开始是打有多少种 i 个匹配的，所以很难看出规律.....

然后反过来打有 i 个不匹配的

/// 打表找下规律

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[20];
int ha[20][20];
int main()
{
    for(int i=1;i<=10;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++){
            a[j] = j;
        }
        do
        {
            int sum = 0;
            for(int j=1;j<=i;j++){
                if(a[j]!=j)
                    sum++;
            }
            ha[i][sum]++;
        }
        while(next_permutation(a+1,a+1+i));
    }
    for(int i=1;i<=10;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            printf("%5d ",ha[i][j]);
        }
        cout<<endl;
    }
}