牛客练习赛41 E-球的体积并——————几何

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/373/E
来源：牛客网

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Special Judge, 64bit IO Format: %lld
题目描述
某天lililalala正在玩一种奇妙的吃鸡游戏–因为在这个游戏里会同时有两个圆形安全区(他们可能相交)。
lililalala觉得求圆的面积并太简单了，所以想把这个问题升级一下。
现在在三维空间里有 2 个球形安全区，分别用四元组 $<x1,y1,z1,r1>$和$<x2,y2,z2,r2>$表示，其中 $r1、r2$表示球半径， $(x1,y1,z1)$和 $(x2,y2,z2)$表示球心
lililalala想知道安全区的总体积是多少？即求这两个球的体积并。

输入描述:
输入有两行。
第一行四个实数 $x1,y1,z1,r1$–第一个球的球心坐标和半径。
第二行四个实数 $x2,y2,z2,r2$–第二个球的球心坐标和半径。
保证所有输入的坐标和半径的范围都在 $[-100,100]$ 内。

输出描述:
输出一行一个实数–表示两个球的体积并，你的答案被认为正确，当且仅当绝对误差不超过10−6。
示例1
输入
0 0 0 1
2 0 0 1
输出
8.3775804
示例2
输入
0 0 0 1
0 0 0 0.5
输出
4.1887902

---

两个球不相交或者小球在大球内部的情况非常简单，结果就是球的体积
两球相交的时候，即 $fabs(r_1-r_2)<d<r_1+r_2$的情况
结果是两个球的体积减去它们球缺的体积就好了

球缺

• 一个球被平面截下的一部分叫做球缺。
• 截面叫做球缺的底面
• 垂直于截面的直径被截后被截下的线段长叫做球缺的高。
• 球缺曲面部分的面积（球冠面积）$S=2\pi Rh$
• 球缺体积公式$V=(\pi /3)(3R-h)\ast h^2=\pi h^2(R-\frac{h}{3})$（R是球的半径,H是球缺的高)。

即
$$V=\pi h^2(R-\frac{h}{3})$$
如图所示，上边被切下来的部分就是球缺…我们需要知道它的体积

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);

struct Point{
        double x,y,z,r;
}a,b;

double dis(Point a,Point b)
{
        return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y) + (a.z-b.z)*(a.z-b.z));
}
int main()
{
        // freopen("../in.txt","r",stdin);
        // freopen("../out.txt","w",stdout);
        cin>>a.x>>a.y>>a.z>>a.r;
        cin>>b.x>>b.y>>b.z>>b.r;
        double d = dis(a,b);
        double ans = 4.0*PI*(a.r*a.r*a.r+b.r*b.r*b.r)/3.0;
        if(d<=fabs(a.r-b.r))    ans = 4.0*PI*pow(a.r>b.r?a.r:b.r,3)/3.0;//小球在大球内
        else if(d<a.r+b.r){//两球相交，减去两个球缺的体积
                double cosq1 = (a.r*a.r + d*d - b.r*b.r)/(2.0*a.r*d); //对应的余弦角
                double cosq2 = (b.r*b.r + d*d - a.r*a.r)/(2.0*b.r*d);
                double h1 = a.r*(1-cosq1);//a球 球缺的高
                double h2 = b.r*(1-cosq2);//b球 球缺的高
                ans -= PI*h1*h1*(a.r-h1/3.0);//球缺体积公式
                ans -= PI*h2*h2*(b.r-h2/3.0);//减去b球的球缺部分
        }
        printf("%.7f\n",ans);
        return 0;
}