【GDOI2014模拟】服务器 (斜率单调队列优化Dp)

Description

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。

首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

Input

输入文件的第一行有一个整数n，表示服务器的数目。输入文件的第二行有n个整数，顺数第i个表示ci：在Si上直接复制文件的费用。

Output

输出文件中只包含一个整数，即最少需要花费的费用。

Sample Input

10

2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

Data Constraint

60%的数据中，1 <= n <= 1 000

100%的数据中，1 <= n <= 1 000 000

80%的数据中， 1 <= ci <= 50

100%的数据中，1 <= ci <= 1 000 000 000

最终结果可能较大，请注意选择适当的数据类型进行计算。

The solution

我就直接入题吧，这道题很容易想到Dp方程

$f[i]=min(f[j]+a[i]+\dfrac{(j-i)*(j-i-1)}{2},f[i) ,j>i$
这样的方程明显是$O(n^2)$ 肯定TLE，期望的得分60分

60分的CODE如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--)
#define INF 214783647
#define N 1000005
using namespace std;
long long f[N],c[N];
long long n,m,ans=0;
long long work(int x,int y)
{
    return (long long)y*(y-x)-(long long)(y-x)*(x+y-1)/2;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%lld",&c[i]);
    ans=(f[n]=c[n])+work(1,n);
    fd(i,n-1,1)
    {
        f[i]=INF;
        fo(j,i+1,n) f[i]=min(f[i],f[j]+work(i+1,j));
        f[i]+=c[i];
        ans=min(ans,f[i]+work(1,i));
    }
    printf("%lld",ans);
}

怎么优化这个Dp呢，我们可以考虑用斜率单调队列优化Dp。
（在这里感谢LYD729大神。。。。%%%）
我们可以
对于当前的i（i是从后往前枚举的），设有两个决策j,k，j优于k，那么需要满足的条件是

$$f[j]+\dfrac{(j-i)(j-i-1)}{2}+a[i]<f[k]+\dfrac{(k-i)(k-i-1)}{2}+a[i]$$

将上述方程移项可得：

$$\dfrac{f[j]-f[k]+\dfrac{j^2-k^2-j+k}{2}}{j-k}<i$$

这种模式就可以清晰的看到此方程的单调性，就可以考虑单调队列了。

设Work(j,k)表示不等式左边。

我们就可以维护一个单调队列

$$i>Work(j_l,j_{l+1})>Work(j_{l+1},j_{l+2})>Work(j_{l+2},j_{l+3})>......>Work(j_{r-1},j_r))$$

对头的$j_l$即为最优解

若有

$$g(j_{r−1},j_{r})<g(j_{r},i)$$ 则说明jr永远不可能取到最优了，证明如下：

由于本人蒟蒻，目前还无法理解证明，以下证明源于LYD729，再次%%%%

采用反证法，假设jr能够取到最优，则
$j_r优于j_{r−1}等价于g(j_{r−1},j_r)>i，$
$j_r优于i等价于g(j_r,i)<i。$
综合上面两个不等式，得
$g(j_r,i)<i<g(j_{r−1},j_r)$。
惊奇地发现不等式出现了矛盾！
得证！
所以要把jr踢掉，一直做下去直到不满足上述条件，然后让i入队。

单调队列的题目还得多练啊，自己还是有点不熟悉，
下次再遇到这种题可能就要滚粗了。。。→_→。。。
还得多练多努力啊！！！

ACCEPTED
CODE

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--)
#define INF 214783647
#define N 1000005
using namespace std;
long long F[N],c[N],d[N];
long long n,m;

double Work(long long x,long long y)
{
    return (F[x]-F[y]+(double)(x*x-y*y-x+y)/2)/(double)(x-y);
}
int main()
{
    freopen("server.in","r",stdin);
    scanf("%lld",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%lld",&c[i]);
    F[n]=c[n];
    int l=1,r=1;
    d[1]=n;
    fd(i,n-1,0)
    {
        while (l<r && i<Work(d[l],d[l+1])) l++;
        F[i]=F[d[l]]+(d[l]-i)*(d[l]-i-1)/2+c[i];
        while (l<r && Work(d[r-1],d[r])<Work(d[r],i)) r--;
        d[++r]=i;    
    }
    printf("%lld",F[0]);
}