单源最短路径： Dijkstra 算法

Dijkstra 算法解决带非负权重的有向图上单源路径最短问题，若实现方法合适，则其运行时间小于 Bellman_Ford 算法。

Dijkstra 算法在运行过程中维持一组关键信息：结点集合S，从源节点 s 到该集合中每个结点的最短路径已经被找到。算法将重复从V - S 中选择最短路径估计最小的结点 u，并对它进行加入到集合、对所有从 u 出发的边进行松弛。

其中，我们用最小优先队列管理结点集合 V - S。与之前相同，我们用最短路径估计来作为队列中结点比较的方式。

Dijkstra(G, w, s)
Initialize_Single_Source(G, s)
S = NULL
Q = G.V
while Q != NULL
      u = Extract_Min(Q);
      S = S∪{u};
      for each vertex v∈G.Adj[u]
          Relax(u, v, w)

该算法由源节点出发开始循环，并在循环中一遍又一遍选择d最小的结点，并通过将它出队列中排出，并松弛由它出发的边。因此可以看到，该算法实行的是贪心算法——选取路径最短的结点并纳入到S中。

定理6（Dijkstra 算法的正确性）： Dijkstra 算法运行在带权重的有向图 G = （V， E)时，若所有权重非负，则算法终止时，对于所有结点 v ∈ V，我们有 u.d = δ(s, u)。

证明：

在初始化时，我们有S = NULL，因此直接成立。

在保持的过程中，我们利用反证法进行证明。

我们先假设一个结点 u，它是即将要被划入集合V中的结点。那么利用反证法，那么我们先假设它是第一个加入到集合S时，使得 u.d != δ(s, u)。之后，我们先把这个假设置于一边，通过对从s到u的最短路径