装箱问题的动态规划算法和渐进ptas

装箱问题的动态规划算法和渐进ptas

instance：给定n个物体，大小分别为$s_1,s_2,\dots,s_n$,将其放进大小为m的箱子里

问，需要的最少的箱子的数目是多少。

可以将这个问题抽象成，给定n个物体都在0，1之间，将其放在大小为1的箱子里，球最少的数目。

1.firstfit

这个算法和内存分配算法类似。

把物体放在第一个能够放下的箱子里，如果前面的箱子都放不下，那么重开一个箱子。显然对于这种算法，有：除了最后一个箱子，其他的箱子都应该是超过半满的。否则，假设有两个箱子都没有半满，那么将这两个箱子倒在一起就行了。

so,we get:

$opt>\sum_{i}s_i>\frac {(sol-1)}{2}$

then:

$sol\le2 opt$

这是对于所有情况都成立的估计。

那么如果所有的箱子都很小呢？假设每个箱子都比$\gamma$小，那么只可能有一个箱子里面的东西是小于等于$1-\gamma$的，其余的所有箱子都应该比$1-\gamma$大，那么就有以下的估计：

$opt\ge\sum_{i}s_i>(1-\gamma)\times (sol-1)$

So: