整除规律

本文总结了从1到24的整除法则,帮助读者快速掌握判断一个数能否被另一个数整除的方法。例如,个位数是0的数能被10整除,或者一个数各位数字之和能被9整除则该数也能被9整除。

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编程一向是在玩弄数学,许多概念学过了也就过了,时间久了什么都是浮云。在此张贴些整除规律,只为个人学习,非喜勿扰


出自:百度百科



整除规则第一条(1):任何整数都能被1整除。  


整除规则第二条(2):个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。 

 

整除规则第三条(3):每一位上数字之和能被3整除,那么这个数就能被3整除。

  

整除规则第四条(4):最后两位能被4整除的数,这个数就能被4整除。  


整除规则第五条(5):个位上是0或5的数都能被5整除。  


整除规则第六条(6):一个数只要能同时被2和3整除,那么这个数就能被6整除。  


整除规则第七条(7):把个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除。

  

整除规则第八条(8):最后三位能被8整除的数,这个数就能被8整除。  


整除规则第九条(9):每一位上数字之和能被9整除,那么这个数就能被9整除。  


整除规则第十条(10): 若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除  


整除规则第十一条(11):将一个数从右往左数,将奇数位上的数与偶数位上的数分别相加,然后将两个数的和相减,如果差值能被11整除(包括差值为0)则原数可以被11整除。  


整除规则第十二条(12):若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。  


整除规则第十三条(13):若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。   


整除规则第十四条(14):a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。  

 

整除规则第十五条(15):a 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

  

整除规则第十六条(16):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除,则这个数能被23整除 

 

整除规则第十七条(17):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除,则这个数能被29整除 


整除规则第十八条(18):若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除,则这个数能被73整除  


整除规则第十九条(19):若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除,则这个数能被137整除  


整除规则第二十条(20):若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除  


整除规则第二十一条(21):若一个整数的末5位与前面的数的差能被9091整除,则这个数能被9091整除  


整除规则第二十二条(22):(9的无敌乱切)把一个整数分成若干段之和能被9整除,则这个数能被9整除  


整除规则第二十三条(23):(11的无敌乱切)把一个整数分成若干段,每段的末尾为奇数位加,偶数位减,结果能被11整除,则这个数能被11整除  


整除规则第二十四条(24):(a)若一个整数的末4位与前面的数的和能被101整除,则这个数能被101整除  (b)若一个整数的末2位与前面的数的差能被101整除,则这个数能被101整除  


切记:0 不能做除数!


### 整除与光棍数的概念及其数学定义 #### 光棍数的数学定义 光棍数是由连续的数字 `1` 组成的一类特殊自然数,例如 `1`, `11`, `111`, `1111` 等。这些数字可以形式化地表示为 \( R_k = \frac{10^k - 1}{9} \),其中 \( k \) 是该光棍数的位数[^2]。 #### 整除关系 对于任意给定的一个不以 `5` 结尾的奇数 \( x \),存在一个最小的正整数 \( s \),使得 \( x \times s \) 的结果是一个光棍数 \( R_n \)[^3]。这里的 \( n \) 即为所得到的光棍数的位数。 --- ### 编程实现方法 为了找到满足条件的最小解 \( s \) 和对应的光棍数位数 \( n \),可以通过以下方式实现: #### 方法描述 利用同余定理来解决这一问题。具体来说,我们需要寻找最小的 \( n \),使下面的关系成立: \[ 10^n \mod (9x) = 1 \] 这是因为光棍数的形式为 \( R_n = \frac{10^n - 1}{9} \),而我们希望 \( R_n \equiv 0 \pmod{x} \) 成立。通过逐步累加模运算的结果,我们可以高效地找到所需的 \( n \) 值。 以下是基于 C++ 实现的具体代码示例: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { long long x; cin >> x; // 输入一个不以5结尾的奇数 long long remainder = 1 % x; // 初始余数 int n = 1; // 初始化光棍数的位数 while (remainder != 0) { // 当余数不为零时继续迭代 remainder = (remainder * 10 + 1) % x; // 更新余数 n++; // 计算下一位 } cout << ((pow(10, n) - 1) / 9) / x << " " << n << endl; // 输出结果 return 0; } ``` 上述代码的核心在于使用 **同余定理** 来减少不必要的大数计算,从而提高效率[^5]。 --- ### 性质总结 任何光棍数都可以被某些特定类型的奇数整除,前提是这些奇数不以 `5` 结尾[^1]。这种特性源于其特殊的数值结构以及模运算中的周期性规律。 ---
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