jzoj3736. 【NOI2014模拟7.11】数学题

Description

Input

输入有多组测例，每组测例有一行，为4 个整数x1，y1， x2， y2，含义见题目描述。输入文件以EOF 结束。

Output

Sample Input

3 0 1 2
6 0 4 0

Sample Output

5
0

Data Constraint

赛时

比赛一眼没啥思路，主要是感觉感冒了，精神状态欠佳。
画画图，瞎**猜了一个神奇的结论：
当两条向量的斜率相同时，答案为0。
当两条向量不相同时，答案就是选择其中一条最短的。
感觉没啥问题，接着去死磕后面的两道毒瘤题了。
比赛即将结束，突然发现结论好像有点问题？
/<_\

题解

我们看看上面我的结论哪里错了——
看到两个夹角等于120°，长度相等的向量。
那么两个向量加起来是等于向量长的。
如果把这个夹角变大点，那么长度就小于向量长了。
所以说，我们要把这类型的情况给做好！

直接上1号结论——当两向量夹角的角度大于60°时，即可利用我的结论。
否则就看到2号结论，再搞搞事情。

证明1号结论：

我直接截取论文上的证明了，还是很好推的（话说论文一开始写错了，那个等于号应该是大于等于）

然后我们来看看2号结论：
$|ax+by|=|a(x-\lambda y)+(b+a\lambda )y|$，即向量$(x,y)$可以转换成$(x-\lambda y,y)$，且系数$(a,b)$可以转换成系数$(a,b+a\lambda )$
证明显然。
由于系数这个东西是自己随意确定的。
所以，向量就可以利用上面的东西变成新的向量，同时扩大夹角。
因此在不停地扩大的过程中，夹角也最终会大于60°，回到结论1即可。

那么我们来看看具体如何扩大：
还是论文的图

我们设$\overrightarrow{OE}$为$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影。
那么接下来有3种情况：

1、$|\overrightarrow{OA}|<|\overrightarrow{OE}|$
在这种情况下，也就是上面的图，考虑转化。
设$\overrightarrow{OC}=\lambda \ast \overrightarrow{OA}$并且其中的$\lambda$在满足$|\overrightarrow{OC}|<|\overrightarrow{OE}|$的情况下$\lambda$最大。
那么现在就可以转化啦。
显然，$\angle DCB>\angle AOB$
于是我们就把$(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{OA})$代入，继续递归。

2、$|\overrightarrow{OA}|>|\overrightarrow{OE}|$
也就是类似于上面的$\overrightarrow{OD}$
我们发现，$\angle ADB>\angle AOB$，证明的话把D按照E轴对称折叠过去，发现是外角。
把$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OA})$代入，递归！

3、$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OE}|$
其实这种情况注意一下即可，写得不正确有可能会死循环。

大致就是这样子，是不是很像gcd算法的过程？这就叫做类欧几里得算法。
一些小细节：

• 如何快速求$\lambda$呢？
  $\lambda =\lfloor \frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{OA}|}\rfloor$
• 当递归后夹角大于90°，一样要把一条向量旋转180°。
• 时间复杂度：因为有了上面这条，所以时间复杂度证明变得极其复杂。（其实是我太蔡了）

标程

uses math;
type
        nod=record
                x,y:extended;
        end;

var
        i,j,k,l,n,m,anss:longint;
        co,kk:extended;
        a,b,c:nod;

function jia(a,b:nod):nod;
begin
        jia.x:=a.x+b.x;
        jia.y:=a.y+b.y;
end;

function jian(a,b:nod):nod;
begin
        jian.x:=a.x-b.x;
        jian.y:=a.y-b.y;
end;

function cheng(lid:extended;a:nod):nod;
begin
        cheng.x:=lid*a.x;
        cheng.y:=lid*a.y;
end;

function cross(a,b:nod):extended;
begin
        exit(a.x*b.x+a.y*b.y);
end;

function dis(a:nod):extended;
begin
        exit(sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y));
end;

function ans(a:nod):extended;
begin
        exit(a.x*a.x+a.y*a.y);
end;

function likegcd(a,b:nod):extended;
var
        c:nod;
        det,k:extended;
begin
        if (dis(a)>dis(b)) then
        begin
                c:=a;a:=b;b:=c;
        end;
        if (dis(a)=0) then
        begin
                exit(0);
        end;
        if (dis(b)=0) then
        begin
                exit(0);
        end;
        co:=cross(a,b)/(dis(a)*dis(b));
        if (co<0) then
        begin
                a.x:=-a.x;
                a.y:=-a.y;
                exit(likegcd(a,b));
        end;
        if (co=1) then
        begin
                exit(0);
        end;
        c.x:=b.x*co;
        c.y:=b.y*co;
        kk:=pi;
        if (co<=1/2) then
        begin
                if (dis(a)>dis(b)) then exit(ans(b))
                else exit(ans(a));
        end;
        if (dis(a)>dis(c)) then
        begin
                exit(likegcd(jian(b,a),a));
        end
        else
        begin
                k:=trunc(dis(c)/dis(a));
                exit(likegcd(jian(b,cheng(k,a)),a));
        end;
end;

begin
        assign(input,'math.in');reset(input);
        assign(output,'math.out');rewrite(output);
        while not eof do
        begin
                readln(a.x,a.y,b.x,b.y);
                c.x:=-a.x;
                c.y:=-a.y;
                if dis(jia(c,b))>dis(jia(a,b)) then a:=c;
                anss:=trunc(likegcd(a,b));
                writeln(anss);
                if anss=5584 then
                i:=i;
        end;
end.