OI学习笔记之倍增求LCA

倍增求LCA

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一，首先回顾一下什么是倍增算法，倍增算法就是改善一下一步一步跳的缓慢，改为跳2^k 步从而达到加快速度的目的，倍增算法一般要先预处理一个数组，代表从从某个点开始跳2^k 个数到达哪里，比如ST表的ST[i][j]代表从第i个数向后2^j 个数，树上倍增求LCA的f[i][j]表示i的第2^j 个祖先是谁。

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二，最近公共祖先LCA概念篇
1，祖先：与x处于同一条重链且深度小于点x的节点都成为点想的祖先。
2，公共祖先：若给定一棵树，结点z即是结点x的祖先，结点z也是结点y的祖先，那么称z是结点x和y的公共祖先。
3，最近公共祖先：结点x和结点y的所有祖先中深度最深的那个，记作LCA（x,y）。

比如在此图中，5的祖先有1和2; 5和6的公共祖先有1和2； 5和6的最近公共祖先是2； 有没有发现根节点是所有任意两个节点的公共祖先，所以最近公共祖先一定存在，最差是根节点。

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三，如何求解LCA
1，考虑如何暴力求解，如果两个结点的深度相同，我们是不是只需要让两个结点同时一步一步往上走，即a走到它的父亲的同时，b也走到它的父亲，如果两个点走到的结点不相同就证明当前节点不是a和b的最近公共祖先就继续走，知道走到节点相同证明当前节点是点a和点b的最近公共祖先。
2，考虑如何优化1,1缓慢的原因是它在一步一步的向上走所以导致了算法的低效，如果我们可以大步向上走，每次在不超过范围的情况下向上走2^k步再判断是不是就加快了算法速度，为了实现这个效果我们引入倍增算法
首先要预处理两个数组Log(以2为底的对数中整数最大的那个），Log[0]=-1,Log[i]=Log[i>>1]|1;F(i, j) 表示点i 向上走2j 步的结点,Fi,0 就是点i 的父亲节点,F(i, j)= F((Fi, j−1), j−1)(从第i个点向上走2^j 个点肯定等于从i出发向上走2^(j-1) 个点再向上走2^（j-1）个节点。

算法流程：
将a 和b 调整到相同高度
a. 判断a 和b 是否重合，若重合则该点即为答案
b.令a 和b 一起向上移动尽可能大的距离，保证移动后两点不重合
c. 此时两点的父亲结点即为答案

代码实现也并不难

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 500005

using namespace std;

struct node
{
	int ed,nxt;
};
node edge[maxn<<1];
int first[maxn],n,m,s,cnt,f[maxn][30],Log[maxn],dep[maxn]; 

inline void add_edge(int s,int e)
{
	cnt++;
	edge[cnt].ed=e;
	edge[cnt].nxt=first[s];
	first[s]=cnt;
	return;
}

inline void deal_first(int k,int fa)
{
	dep[k]=dep[fa]+1;
	f[k][0]=fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[k];i++)
	    f[k][i]=f[f[k][i-1]][i-1];
	for(int i=first[k];i;i=edge[i].nxt)
	{
		int e=edge[i].ed;
		if(e==fa) continue;
		deal_first(e,k);
	}
}

inline int Lca(int a,int b)
{
	if(dep[a]<dep[b]) swap(a,b);
	for(int i=Log[dep[a]];i>=0;i--)
	    if(dep[f[a][i]]>=dep[b]) a=f[a][i];
	if(a==b) return a;
	for(int k=Log[dep[a]];k>=0;k--)
	    if(f[a][k]!=f[b][k])
	       a=f[a][k],b=f[b][k];
	return f[a][0];
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		int s,e;
		scanf("%d%d",&s,&e);
		add_edge(s,e);
		add_edge(e,s);
	}
	dep[s]=1;
	deal_first(s,0);
	Log[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    Log[i]=Log[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int a,b;
		scanf("%d%d",&a,&b);
		printf("%d\n",Lca(a,b));
	}
	return 0;
}

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写在最后，祝各位OIER NOIP2019 RP++ SCORE++