<think>我们面对的是一个窗框生产中的最优切割问题。用户需要根据订单需求和原材料尺寸建立数学模型，设计最优切割方案，以最大化利润，并计算切割损失率和利用率。
问题分析：
1. 订单需求：客户需要不同尺寸的窗框零件，每种零件有特定的数量要求。
2. 原材料尺寸：原材料（例如铝型材）有固定的长度（例如6米）。
3. 切割过程：将原材料切割成所需尺寸的零件，每次切割会产生一定的切口损失（例如每次切割损失2mm）。
4. 目标：最大化利润，同时考虑切割损失率和原材料利用率。
数学模型：
这是一个典型的一维切割问题（Cutting Stock Problem, CSP），属于组合优化问题。我们可以建立整数线性规划（ILP）模型。
定义：
- 原材料长度：$L$（例如6000mm）
- 切口损失：$c$（例如2mm）
- 零件类型集合：$I = \{1, 2, ..., m\}$，$m$为零件种类数
- 第$i$种零件的长度：$l_i$（$i \in I$）
- 第$i$种零件的需求量：$d_i$（$i \in I$）
- 切割方案：一个切割方案对应一种切割模式，用向量$A_j = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj})$表示，其中$a_{ij}$表示在第$j$种切割模式中切割第$i$种零件的数量。
- 切割模式必须满足：$\sum_{i \in I} a_{ij} \cdot l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L$，其中$k_j$是第$j$种切割模式中的切割次数（即总零件数），且$k_j = \sum_{i \in I} a_{ij}$。注意：每次切割产生一个切口，所以总切口损失为$(k_j - 1) \cdot c$（因为$k_j$个零件需要$k_j-1$次切割）。
- 变量：$x_j$表示使用第$j$种切割模式的次数（即使用该模式切割的原材料根数）。
目标函数：
最大化利润。但利润通常与收入和成本有关。我们可以假设：
收入 = 所有售出零件的总售价（这里我们可能需要知道每个零件的售价）
成本 = 使用的原材料成本（假设每根原材料成本为$C$） + 切割成本（如果考虑的话，但通常我们只考虑原材料成本）
因此，利润 = 收入 - 成本。
然而，在切割问题中，通常我们直接最小化原材料消耗（即最小化使用的原材料根数），因为原材料成本是主要成本，且零件需求是固定的，所以收入固定，最大化利润等价于最小化成本（即最小化原材料使用量）。
但问题要求最大化利润，所以我们需要知道每个零件的售价和原材料的单位成本。为简化，假设我们只考虑原材料成本，则最大化利润等价于最小化原材料总成本（因为收入固定）。因此，目标函数可以转化为最小化使用的原材料总根数（因为每根原材料成本相同），即：
最小化 $\sum_j x_j$
约束条件：
1. 满足每种零件的需求量：$\sum_j a_{ij} x_j \geq d_i, \quad \forall i \in I$
2. $x_j$为非负整数。
但是，切割模式的数量可能非常大（组合爆炸），因此我们通常采用列生成（Column Generation）方法来解决。在实际应用中，我们可以先枚举所有可能的切割模式（如果零件种类少）或者使用列生成算法（当零件种类多时）。
此外，我们还需要计算切割损失率和原材料利用率：
- 切割损失率：指在切割过程中产生的废料（包括切口损失和剩余无法利用的料头）占总原材料长度的比例。
- 原材料利用率：指有效利用的长度（即所有零件总长度）占原材料总长度的比例。
对于一根原材料，如果采用切割模式$j$，则：
有效利用长度 = $\sum_{i} a_{ij} \cdot l_i$
总切口损失 = $(k_j - 1) \cdot c$
剩余料头 = $L - \sum_{i} a_{ij} \cdot l_i - (k_j - 1) \cdot c$
总损失 = 总切口损失 + 剩余料头 = $L - \sum_{i} a_{ij} \cdot l_i$
因此，对于整个生产计划：
原材料总长度 = $(\sum_j x_j) \cdot L$
所有零件总长度 = $\sum_j \left( x_j \cdot \sum_i a_{ij} l_i \right)$
总损失长度 = 原材料总长度 - 所有零件总长度
切割损失率 = 总损失长度 / 原材料总长度
原材料利用率 = 所有零件总长度 / 原材料总长度
注意：切割损失率通常包括切口损失和料头损失。
然而，在实际问题中，我们可能还需要考虑其他因素，例如：
- 切割顺序：不同的切割顺序不会影响总切口损失（因为都是$k_j-1$次切割），所以可以忽略顺序。
- 零件长度必须为正整数，且满足切割约束。
由于切割模式的数量可能很多，我们通常使用启发式算法（如遗传算法、模拟退火）或列生成算法来求解。这里我们给出一个整数线性规划模型，并使用列生成的思想，但在实际编程中，我们可以使用现成的优化库（如Python的PuLP、OR-Tools等）来求解。
步骤：
1. 收集订单需求和原材料参数：零件类型、尺寸、需求量，原材料长度，切口损失。
2. 生成初始切割模式：至少包含一种切割模式，例如每种零件单独切割（但可能不满足需求，需要多种模式）。
3. 建立主问题（Master Problem）和子问题（Pricing Problem）进行列生成迭代，直到找到最优解（或近似最优解）。
4. 求解整数规划（或线性规划取整）得到每种切割模式的使用次数。
5. 根据求解结果计算原材料利用率、切割损失率以及利润。
由于问题要求详细且可操作，下面给出一个具体的例子，并使用Python代码示例（使用PuLP库）来求解。
示例：
假设原材料长度L=6000mm，切口损失c=2mm。
订单需求：两种零件，零件1：长度2000mm，需求100根；零件2：长度2500mm，需求150根。
建立模型：
主问题（整数线性规划）：
最小化：$\sum_j x_j$
约束：
对于零件1：$\sum_j a_{1j} x_j \geq 100$
对于零件2：$\sum_j a_{2j} x_j \geq 150$
$x_j$为非负整数
子问题（用于生成新的切割模式）：
目标：寻找一个切割模式，使得其对应的列在主问题中的检验数（reduced cost）最小（对于最小化问题，检验数为负则加入）。
子问题可以建模为整数线性规划或背包问题。具体地，我们需要寻找一个向量$(a_1, a_2)$，使得：
最大化：$\pi_1 a_1 + \pi_2 a_2$ （其中$\pi_i$是主问题中第i个约束的对偶变量）
约束：$a_1 \cdot l_1 + a_2 \cdot l_2 + (a_1+a_2-1) \cdot c \leq L$
$a_1, a_2$为非负整数
注意：子问题中，目标函数是检验数的相反数（因为主问题是最小化，检验数=1 - 对偶变量与切割模式向量的点积），所以最小化检验数等价于最大化（对偶变量与切割模式向量的点积）。具体推导可参考列生成算法。
由于示例只有两种零件，我们可以枚举所有可能的切割模式。但为了通用性，我们使用列生成。
代码实现步骤（使用PuLP）：
1. 初始化主问题，添加初始切割模式（例如，只包含一种零件：模式1：只切割零件1，最多可切3根（因为(2000*3+2*2=6004>6000，所以只能切2根？），模式2：只切割零件2，最多切2根（2500*2+2=5002<6000，所以可以切2根，剩余998mm？））。
2. 求解主问题的线性规划松弛，得到对偶变量。
3. 求解子问题（背包问题），寻找检验数为负的切割模式（即目标值大于1的切割模式，因为检验数=1 - 目标值，所以目标值>1则检验数为负）。
4. 如果找到，则将该切割模式加入主问题，返回步骤2；否则，停止迭代。
5. 求解整数规划（对主问题添加整数约束）。
注意：由于列生成通常用于大规模问题，而我们的例子很小，也可以直接枚举所有可能模式。但为了展示列生成，我们采用迭代方法。
由于时间限制，我们给出一个简化的代码，使用枚举所有可能切割模式（因为只有两种零件，枚举可行）来求解整数规划。
枚举切割模式：
零件1：2000mm，零件2：2500mm。
约束：2000*a1 + 2500*a2 + (a1+a2-1)*2 <= 6000
我们枚举a1和a2的可能取值：
a1的取值范围：0到 floor(6000/2000)=3
a2的取值范围：0到 floor(6000/2500)=2
然后检查约束，得到所有可行模式：
模式1: (a1=3, a2=0) -> 2000*3+2*2=6004>6000 -> 不可行（实际只能切2根，因为3根需要2次切割，损失4mm，总长6004>6000，所以最大只能2根）
模式2: (a1=0, a2=2) -> 2500*2+2=5002<6000 -> 可行
模式3: (a1=1, a2=1) -> 2000+2500+2=4502<6000 -> 可行
模式4: (a1=2, a2=0) -> 2000*2+2=4002<6000 -> 可行
模式5: (a1=2, a2=1) -> 2000*2+2500+3*2? 注意：切割次数=3（即2+1-1=2次切割？不对，应该是零件数=3，切割次数=2，所以切口损失4mm）总长=2000*2+2500+4=6504>6000 -> 不可行
模式6: (a1=1, a2=0) -> 2000+0+0? 但切割1根不需要切割？实际上，从一根原材料上切下一段，不需要切割（如果直接使用整根则不需要切，但这里我们通常需要切割成段，所以至少需要一次切割才能得到一段？）这里重新考虑：我们假设原材料需要切割才能得到零件，所以即使只切一段，也需要一次切割（把这段从原材料上切下来），但一次切割不会产生切口损失（因为切口损失发生在两次切割之间，一次切割只有一段，没有切口损失？）这需要明确。
修正切口损失：通常，每进行一次切割，就会在切口处损失材料。因此，切割出k段，需要k-1次切割（因为第一段不需要切割？不对，实际上，切割k段需要k-1次切割，因为每次切割将一段分成两段）。但还有一种情况：如果原材料两端不需要切割，那么切割k段需要k-1次切割。因此，切口损失为(k-1)*c。
但是，如果只切一段（即整根原材料作为一段），则不需要切割，因此切口损失为0。但在我们的问题中，如果零件长度等于原材料长度，那么不需要切割，切口损失0。如果零件长度小于原材料长度，则需要切割（至少一次）？不对，比如我们只需要一段，那么我们可以不切割直接使用整根，此时切口损失0。所以，当零件数k=1时，切口损失0；k>=2时，切口损失为(k-1)*c。
因此，修正约束：
总长度约束：$\sum_{i} a_{ij} l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L$，其中$k_j = \sum_i a_{ij}$。
重新枚举：
模式1: (3,0): k=3, 总长=3*2000+2*2=6004>6000 -> 不可行
模式2: (0,2): k=2, 总长=2*2500+1*2=5002<6000 -> 可行
模式3: (1,1): k=2, 总长=2000+2500+1*2=4502<6000 -> 可行
模式4: (2,0): k=2, 总长=2*2000+1*2=4002<6000 -> 可行
模式5: (0,1): k=1, 总长=2500+0=2500<6000 -> 可行（但这样会有大量剩余，一般不单独使用，因为需求150，我们可以用模式2一次切2根）
模式6: (1,0): k=1, 总长=2000<6000 -> 可行
模式7: (2,1): k=3, 总长=2*2000+2500+2*2=6504>6000 -> 不可行
模式8: (0,0): 无意义
因此，可行的切割模式有：
模式1: (0,2) -> 切2根零件2
模式2: (1,1) -> 切1根零件1和1根零件2
模式3: (2,0) -> 切2根零件1
模式4: (0,1) -> 切1根零件2
模式5: (1,0) -> 切1根零件1
但是，模式4和模式5效率低（剩余多），我们可能不会使用，但为了完整，我们包括。
建立主问题：
变量：x1（模式1使用次数）、x2（模式2）、x3（模式3）、x4（模式4）、x5（模式5）
目标：min x1+x2+x3+x4+x5
约束：
零件1：0*x1 + 1*x2 + 2*x3 + 0*x4 + 1*x5 >= 100
零件2：2*x1 + 1*x2 + 0*x3 + 1*x4 + 0*x5 >= 150
变量非负整数。
求解：
我们可以使用PuLP求解整数规划。
代码示例（使用PuLP）：
```python
import pulp
# 定义问题
prob = pulp.LpProblem("Cutting_Stock", pulp.LpMinimize)
# 定义切割模式及其变量
# 模式1: (0,2) -> 零件1:0, 零件2:2
# 模式2: (1,1) -> 零件1:1, 零件2:1
# 模式3: (2,0) -> 零件1:2, 零件2:0
# 模式4: (0,1) -> 零件1:0, 零件2:1
# 模式5: (1,0) -> 零件1:1, 零件2:0
x = [pulp.LpVariable(f"x{i}", lowBound=0, cat='Integer') for i in range(1,6)]
# 目标函数：最小化原材料使用根数
prob += pulp.lpSum(x)
# 约束：满足零件需求
# 零件1需求100
prob += 0*x[0] + 1*x[1] + 2*x[2] + 0*x[3] + 1*x[4] >= 100
# 零件2需求150
prob += 2*x[0] + 1*x[1] + 0*x[2] + 1*x[3] + 0*x[4] >= 150
# 求解
prob.solve()
# 输出结果
print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status])
for i in range(5):
print(f"x{i+1} =", pulp.value(x[i]))
print("Total rods used =", pulp.value(prob.objective))
```
运行结果（可能）：
由于模式1（切2根零件2）效率高（一次切2根零件2），模式3（切2根零件1）效率也高，模式2（各1根）可以补充。而模式4和5效率低，可能不会使用。
假设求解得到：
x1 = 75（模式1，提供150根零件2）
x2 = 0
x3 = 50（模式3，提供100根零件1）
x4 = 0
x5 = 0
总根数=125
但是，这样零件1只有100根（满足），零件2有75*2=150根（满足）。总根数125。
另一种可能解：
使用模式1：75次（150根零件2），模式2：0次，模式3：50次（100根零件1），总根数125。
然而，我们还可以考虑混合模式：比如用模式2（1,1）同时生产零件1和2，减少总根数？我们计算一下：
设模式1（0,2）使用a次，模式2（1,1）使用b次，模式3（2,0）使用c次。
约束：
零件1：0*a + 1*b + 2*c >= 100
零件2：2*a + 1*b + 0*c >= 150
目标：min a+b+c
我们尝试：
由零件2：2a+b>=150
由零件1：b+2c>=100
目标最小化a+b+c。
我们可以让a尽可能大，因为a生产零件2效率高（一次2根）。设a=75，则零件2=150，零件1需要由b+2c>=100，且b=0（因为零件2已经满足，不需要b生产零件2），则2c>=100 -> c>=50，总根数75+50=125。
另一种：让a=74，则零件2=148，还需要2根零件2，所以b>=2（因为b可以生产零件2，同时生产零件1）。零件1：b+2c>=100，且b>=2。取b=2，则零件1=2，还需要98根，由c生产：2c>=98 -> c>=49，总根数=74+2+49=125，没有减少。
或者，让a=70，则零件2=140，需要10根零件2，所以b>=10（因为b生产1根零件2）。零件1：b+2c>=100，取b=10，则零件1=10，还需要90根，由c生产：2c>=90 -> c>=45，总根数=70+10+45=125。
因此，最小根数125。
计算利用率和损失率：
总原材料长度 = 125 * 6000 = 750000 mm
零件1总长度 = 100 * 2000 = 200000 mm
零件2总长度 = 150 * 2500 = 375000 mm
总有效长度 = 200000+375000 = 575000 mm
总损失长度 = 750000 - 575000 = 175000 mm
原材料利用率 = 575000 / 750000 ≈ 76.67%
切割损失率 = 175000 / 750000 ≈ 23.33%
但是，这个损失包括切口损失和料头损失。我们可以计算一下具体损失：
模式1：每次使用1根原材料，生产2根零件2，切口损失：1次切割（2mm），料头=6000-2500*2-2=6000-5002=998mm（每根原材料）
模式3：每次生产2根零件1，切口损失：1次切割（2mm），料头=6000-2000*2-2=6000-4002=1998mm（每根原材料）
总切口损失：模式1有75次，每次2mm；模式3有50次，每次2mm；总切口损失=125*2=250mm（注意：每个模式使用一次，切口损失是每个模式内的切口损失，模式1内一次切割损失2mm，模式3内一次切割损失2mm）
总料头损失：75*998 + 50*1998 = 74850 + 99900 = 174750 mm
总损失=250+174750=175000 mm，与上面一致。
然而，我们注意到，在模式1和模式3中，料头都很大，所以利用率低。是否有更好的切割模式？
重新考虑切割模式：我们之前枚举时，忽略了混合切割（比如同时切3根零件？）但之前计算模式(2,1)不可行（6504>6000）。那么有没有其他组合？比如零件1和零件2组合，但零件数超过2。
例如，切3根零件1：2000*3=6000，但需要2次切割（切口损失4mm），总长度6004>6000，不可行。
切3根零件2：2500*3=7500>6000，不可行。
或者，混合切：1根零件1和2根零件2：2000+2500*2=7000>6000，不可行。
2根零件1和1根零件2：4000+2500=6500>6000，不可行。
因此，我们枚举的切割模式已经是最全的。
但为什么利用率低？因为零件尺寸大，原材料长度与零件尺寸不匹配。改进方法：使用更长的原材料？或者设计更小的零件？或者考虑多根原材料组合切割（但问题是一维单根切割）。
因此，在给定条件下，最优解是125根原材料，利用率76.67%。
利润计算：假设每根原材料成本为C元，零件1售价P1元，零件2售价P2元。
总利润 = 100*P1 + 150*P2 - 125*C
注意：以上模型假设切割模式是预先确定的，但实际中切割模式是决策变量的一部分。列生成算法可以动态生成切割模式。
对于大规模问题，我们使用列生成算法。下面给出列生成算法的代码框架（使用PuLP，但列生成需要自己实现迭代）。
由于列生成算法较复杂，且本例很小，枚举即可。对于更多零件类型，列生成更有效。
总结步骤：
1. 确定原材料长度$L$和切口损失$c$。
2. 确定零件类型、长度$l_i$和需求量$d_i$。
3. 生成所有可行的切割模式（如果零件种类少，枚举；否则，用列生成迭代）。
4. 建立整数线性规划模型，目标为最小化原材料根数，约束为满足需求。
5. 求解整数规划。
6. 计算利用率：总零件长度和/(原材料根数*L)。
7. 计算切割损失率：1-利用率。
注意：在生成切割模式时，必须考虑切口损失。
代码示例（列生成）由于篇幅较长，且问题要求可操作性，我们给出一个简化的列生成代码框架（仅线性规划松弛，然后四舍五入取整，可能不是最优整数解，但接近最优）。
列生成代码框架（主问题为线性规划，然后对解取整）：
初始化：添加一些初始切割模式（如每种零件单独切1根的模式）
迭代：
求解主问题（线性规划），得到对偶变量$\pi_i$（对应零件需求约束）。
求解子问题（背包问题）：最大化$\sum_i \pi_i a_i$，满足$\sum_i a_i l_i + (\sum_i a_i -1) \cdot c \leq L$，$a_i$为非负整数。
计算子问题的最优值（即检验数=1-最优值），如果检验数<0（即最优值>1），则添加该切割模式到主问题；否则，停止。
最后，求解整数规划（使用生成的切割模式）。
子问题是一个整数规划，可以用动态规划（一维背包）或整数规划求解。
由于动态规划处理切口损失（切割次数与零件数相关）比较麻烦，我们使用整数规划求解子问题（零件种类少时可行）。
子问题模型（使用PuLP）：
变量：$a_i$表示第i种零件的切割数量
目标：$\max \sum_i \pi_i a_i$
约束：$\sum_i a_i l_i + (\sum_i a_i -1) \cdot c \leq L$
$a_i$为非负整数
注意：约束条件是非线性的（因为$(\sum_i a_i)$与$a_i$相乘），但我们可以将其线性化：
令$k = \sum_i a_i$，则约束为：$\sum_i a_i l_i + (k-1) \cdot c \leq L$，其中$k$是变量。由于$k$是$a_i$的和，所以这是一个线性约束。
因此，子问题是一个整数线性规划。
列生成代码示例（仅展示迭代部分，主问题初始模式）：
假设有m种零件，用列表存储零件长度和需求。
由于代码较长，这里不展开，但思路如上。
最后，根据用户的问题，我们给出一般步骤：
步骤1：收集参数
原材料长度$L$，切口损失$c$，零件信息（种类、长度、需求量）。
步骤2：生成切割模式
使用枚举法（零件种类少）或列生成算法（零件种类多）生成切割模式集合。
步骤3：建立整数线性规划模型
目标：最小化原材料使用根数（即最小化总成本，假设成本只与根数有关）。
约束：满足每种零件的需求。
步骤4：求解整数线性规划
得到每种切割模式的使用次数。
步骤5：计算指标
原材料利用率 = （所有零件总长度） / （原材料根数 * $L$）
切割损失率 = 1 - 利用率
利润 = 零件总售价 - 原材料总成本（假设售价已知，成本已知）
注意：如果用户提供了售价和成本，则直接计算；否则，只计算最小原材料消耗。
步骤6：输出最优切割方案（每种切割模式使用次数）和指标。
代码实现需要根据具体参数调整。
由于问题中没有给出具体的售价和成本，我们只考虑最小化原材料消耗。
因此，回答如下：</think>### 窗框生产最优切割方案设计与数学模型
针对窗框生产中的原材料切割问题，需根据订单需求和原材料尺寸建立数学模型，优化切割方案以实现利润最大化，并计算切割损失率和原材料利用率。核心模型为一维切割问题（Cutting Stock Problem），采用整数线性规划方法求解。
#### **数学模型建立**
设原材料长度为 $L$（如6000mm），切口损失为 $c$（如2mm/次）。零件类型集合 $I = \{1,2,\dots,m\}$，其中：
- $l_i$：第 $i$ 种零件的长度
- $d_i$：第 $i$ 种零件的需求量
- $a_{ij}$：切割模式 $j$ 中零件 $i$ 的数量
- $k_j = \sum_{i \in I} a_{ij}$：模式 $j$ 的总零件数
- $x_j$：切割模式 $j$ 的使用次数
**目标函数**（最小化原材料成本，等价于最大化利润）：
$$\min \sum_j x_j$$
**约束条件**：
1. **需求约束**：
$$\sum_j a_{ij} x_j \geq d_i, \quad \forall i \in I$$
2. **切割可行性**（考虑切口损失）：
$$\sum_{i \in I} a_{ij} l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L, \quad \forall j$$
3. **非负整数约束**：
$$x_j \in \mathbb{Z}^+$$
#### **计算指标**
- **原材料利用率**：
$$\eta = \frac{\sum_j \left( x_j \cdot \sum_i a_{ij} l_i \right) }{L \cdot \sum_j x_j} \times 100\%$$
- **切割损失率**：
$$\lambda = \left(1 - \eta \right) \times 100\%$$
- **利润计算**（需补充成本参数）：
$$\text{利润} = \sum_i d_i p_i - C \cdot \sum_j x_j$$
其中 $p_i$ 为零件售价，$C$ 为单根原材料成本。
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### **求解步骤与示例**
#### **1. 参数输入**
假设：
- $L = 6000\text{mm}$, $c = 2\text{mm}$
- 零件需求：$l_1=2000\text{mm}, d_1=100$；$l_2=2500\text{mm}, d_2=150$
#### **2. 生成切割模式**
枚举可行模式（需满足切割约束）：
| 模式 | 零件1数量 | 零件2数量 | 总切口损失 | 料头长度 |
|------|-----------|-----------|------------|----------|
| A | 0 | 2 | 2mm | 998mm |
| B | 1 | 1 | 2mm | 1498mm |
| C | 2 | 0 | 2mm | 1998mm |
#### **3. 建立优化模型**
```python
import pulp
# 初始化问题
prob = pulp.LpProblem("Optimal_Cutting", pulp.LpMinimize)
# 定义变量：模式A、B、C的使用次数
x_A = pulp.LpVariable("x_A", lowBound=0, cat="Integer")
x_B = pulp.LpVariable("x_B", lowBound=0, cat="Integer")
x_C = pulp.LpVariable("x_C", lowBound=0, cat="Integer")
# 目标函数：最小化原材料根数
prob += x_A + x_B + x_C
# 需求约束
prob += 0 * x_A + 1 * x_B + 2 * x_C >= 100 # 零件1
prob += 2 * x_A + 1 * x_B + 0 * x_C >= 150 # 零件2
# 求解
prob.solve()
# 输出结果
print(f"模式A使用次数: {x_A.value()}")
print(f"模式B使用次数: {x_B.value()}")
print(f"模式C使用次数: {x_C.value()}")
print(f"总原材料根数: {pulp.value(prob.objective)}")
```
#### **4. 结果分析**
- **最优解**：$x_A=75$, $x_B=0$, $x_C=50$，总根数 $=125$
- **利用率计算**：
- 有效材料 $= (75 \times 2 \times 2500) + (50 \times 2 \times 2000) = 575,000\text{mm}$
- 总材料 $= 125 \times 6000 = 750,000\text{mm}$
- $\eta = 575,000 / 750,000 = 76.67\%$
- **损失率**：$\lambda = 23.33\%$
#### **5. 利润优化建议**
- 若零件售价 $p_1=50$ 元, $p_2=60$ 元，原材料成本 $C=100$ 元：
- 利润 $= (100 \times 50 + 150 \times 60) - (125 \times 100) = 15,500$ 元
- **改进方向**：
- 引入更多切割模式（如零件组合 $[1,0,1]$）
- 使用列生成算法处理大规模问题
- 调整原材料长度匹配零件尺寸
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Filecoin要求矿工提供有效存储服务以获取收益，不同于仅打卡即获益的其他公链。有效数据存储确保优质网络环境，通过抵押机制增强服务可靠性。矿工需避免共识失当与市场失当，如迟交或未交时空证明、存储错误等，以最大化存储收益。
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