<think>我们面对的是一个窗框生产中的最优切割问题。用户需要根据订单需求和原材料尺寸建立数学模型,设计最优切割方案,以最大化利润,并计算切割损失率和利用率。
问题分析:
1. 订单需求:客户需要不同尺寸的窗框零件,每种零件有特定的数量要求。
2. 原材料尺寸:原材料(例如铝型材)有固定的长度(例如6米)。
3. 切割过程:将原材料切割成所需尺寸的零件,每次切割会产生一定的切口损失(例如每次切割损失2mm)。
4. 目标:最大化利润,同时考虑切割损失率和原材料利用率。
数学模型:
这是一个典型的一维切割问题(Cutting Stock Problem, CSP),属于组合优化问题。我们可以建立整数线性规划(ILP)模型。
定义:
- 原材料长度:$L$(例如6000mm)
- 切口损失:$c$(例如2mm)
- 零件类型集合:$I = \{1, 2, ..., m\}$,$m$为零件种类数
- 第$i$种零件的长度:$l_i$($i \in I$)
- 第$i$种零件的需求量:$d_i$($i \in I$)
- 切割方案:一个切割方案对应一种切割模式,用向量$A_j = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{mj})$表示,其中$a_{ij}$表示在第$j$种切割模式中切割第$i$种零件的数量。
- 切割模式必须满足:$\sum_{i \in I} a_{ij} \cdot l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L$,其中$k_j$是第$j$种切割模式中的切割次数(即总零件数),且$k_j = \sum_{i \in I} a_{ij}$。注意:每次切割产生一个切口,所以总切口损失为$(k_j - 1) \cdot c$(因为$k_j$个零件需要$k_j-1$次切割)。
- 变量:$x_j$表示使用第$j$种切割模式的次数(即使用该模式切割的原材料根数)。
目标函数:
最大化利润。但利润通常与收入和成本有关。我们可以假设:
收入 = 所有售出零件的总售价(这里我们可能需要知道每个零件的售价)
成本 = 使用的原材料成本(假设每根原材料成本为$C$) + 切割成本(如果考虑的话,但通常我们只考虑原材料成本)
因此,利润 = 收入 - 成本。
然而,在切割问题中,通常我们直接最小化原材料消耗(即最小化使用的原材料根数),因为原材料成本是主要成本,且零件需求是固定的,所以收入固定,最大化利润等价于最小化成本(即最小化原材料使用量)。
但问题要求最大化利润,所以我们需要知道每个零件的售价和原材料的单位成本。为简化,假设我们只考虑原材料成本,则最大化利润等价于最小化原材料总成本(因为收入固定)。因此,目标函数可以转化为最小化使用的原材料总根数(因为每根原材料成本相同),即:
最小化 $\sum_j x_j$
约束条件:
1. 满足每种零件的需求量:$\sum_j a_{ij} x_j \geq d_i, \quad \forall i \in I$
2. $x_j$为非负整数。
但是,切割模式的数量可能非常大(组合爆炸),因此我们通常采用列生成(Column Generation)方法来解决。在实际应用中,我们可以先枚举所有可能的切割模式(如果零件种类少)或者使用列生成算法(当零件种类多时)。
此外,我们还需要计算切割损失率和原材料利用率:
- 切割损失率:指在切割过程中产生的废料(包括切口损失和剩余无法利用的料头)占总原材料长度的比例。
- 原材料利用率:指有效利用的长度(即所有零件总长度)占原材料总长度的比例。
对于一根原材料,如果采用切割模式$j$,则:
有效利用长度 = $\sum_{i} a_{ij} \cdot l_i$
总切口损失 = $(k_j - 1) \cdot c$
剩余料头 = $L - \sum_{i} a_{ij} \cdot l_i - (k_j - 1) \cdot c$
总损失 = 总切口损失 + 剩余料头 = $L - \sum_{i} a_{ij} \cdot l_i$
因此,对于整个生产计划:
原材料总长度 = $(\sum_j x_j) \cdot L$
所有零件总长度 = $\sum_j \left( x_j \cdot \sum_i a_{ij} l_i \right)$
总损失长度 = 原材料总长度 - 所有零件总长度
切割损失率 = 总损失长度 / 原材料总长度
原材料利用率 = 所有零件总长度 / 原材料总长度
注意:切割损失率通常包括切口损失和料头损失。
然而,在实际问题中,我们可能还需要考虑其他因素,例如:
- 切割顺序:不同的切割顺序不会影响总切口损失(因为都是$k_j-1$次切割),所以可以忽略顺序。
- 零件长度必须为正整数,且满足切割约束。
由于切割模式的数量可能很多,我们通常使用启发式算法(如遗传算法、模拟退火)或列生成算法来求解。这里我们给出一个整数线性规划模型,并使用列生成的思想,但在实际编程中,我们可以使用现成的优化库(如Python的PuLP、OR-Tools等)来求解。
步骤:
1. 收集订单需求和原材料参数:零件类型、尺寸、需求量,原材料长度,切口损失。
2. 生成初始切割模式:至少包含一种切割模式,例如每种零件单独切割(但可能不满足需求,需要多种模式)。
3. 建立主问题(Master Problem)和子问题(Pricing Problem)进行列生成迭代,直到找到最优解(或近似最优解)。
4. 求解整数规划(或线性规划取整)得到每种切割模式的使用次数。
5. 根据求解结果计算原材料利用率、切割损失率以及利润。
由于问题要求详细且可操作,下面给出一个具体的例子,并使用Python代码示例(使用PuLP库)来求解。
示例:
假设原材料长度L=6000mm,切口损失c=2mm。
订单需求:两种零件,零件1:长度2000mm,需求100根;零件2:长度2500mm,需求150根。
建立模型:
主问题(整数线性规划):
最小化:$\sum_j x_j$
约束:
对于零件1:$\sum_j a_{1j} x_j \geq 100$
对于零件2:$\sum_j a_{2j} x_j \geq 150$
$x_j$为非负整数
子问题(用于生成新的切割模式):
目标:寻找一个切割模式,使得其对应的列在主问题中的检验数(reduced cost)最小(对于最小化问题,检验数为负则加入)。
子问题可以建模为整数线性规划或背包问题。具体地,我们需要寻找一个向量$(a_1, a_2)$,使得:
最大化:$\pi_1 a_1 + \pi_2 a_2$ (其中$\pi_i$是主问题中第i个约束的对偶变量)
约束:$a_1 \cdot l_1 + a_2 \cdot l_2 + (a_1+a_2-1) \cdot c \leq L$
$a_1, a_2$为非负整数
注意:子问题中,目标函数是检验数的相反数(因为主问题是最小化,检验数=1 - 对偶变量与切割模式向量的点积),所以最小化检验数等价于最大化(对偶变量与切割模式向量的点积)。具体推导可参考列生成算法。
由于示例只有两种零件,我们可以枚举所有可能的切割模式。但为了通用性,我们使用列生成。
代码实现步骤(使用PuLP):
1. 初始化主问题,添加初始切割模式(例如,只包含一种零件:模式1:只切割零件1,最多可切3根(因为(2000*3+2*2=6004>6000,所以只能切2根?),模式2:只切割零件2,最多切2根(2500*2+2=5002<6000,所以可以切2根,剩余998mm?))。
2. 求解主问题的线性规划松弛,得到对偶变量。
3. 求解子问题(背包问题),寻找检验数为负的切割模式(即目标值大于1的切割模式,因为检验数=1 - 目标值,所以目标值>1则检验数为负)。
4. 如果找到,则将该切割模式加入主问题,返回步骤2;否则,停止迭代。
5. 求解整数规划(对主问题添加整数约束)。
注意:由于列生成通常用于大规模问题,而我们的例子很小,也可以直接枚举所有可能模式。但为了展示列生成,我们采用迭代方法。
由于时间限制,我们给出一个简化的代码,使用枚举所有可能切割模式(因为只有两种零件,枚举可行)来求解整数规划。
枚举切割模式:
零件1:2000mm,零件2:2500mm。
约束:2000*a1 + 2500*a2 + (a1+a2-1)*2 <= 6000
我们枚举a1和a2的可能取值:
a1的取值范围:0到 floor(6000/2000)=3
a2的取值范围:0到 floor(6000/2500)=2
然后检查约束,得到所有可行模式:
模式1: (a1=3, a2=0) -> 2000*3+2*2=6004>6000 -> 不可行(实际只能切2根,因为3根需要2次切割,损失4mm,总长6004>6000,所以最大只能2根)
模式2: (a1=0, a2=2) -> 2500*2+2=5002<6000 -> 可行
模式3: (a1=1, a2=1) -> 2000+2500+2=4502<6000 -> 可行
模式4: (a1=2, a2=0) -> 2000*2+2=4002<6000 -> 可行
模式5: (a1=2, a2=1) -> 2000*2+2500+3*2? 注意:切割次数=3(即2+1-1=2次切割?不对,应该是零件数=3,切割次数=2,所以切口损失4mm)总长=2000*2+2500+4=6504>6000 -> 不可行
模式6: (a1=1, a2=0) -> 2000+0+0? 但切割1根不需要切割?实际上,从一根原材料上切下一段,不需要切割(如果直接使用整根则不需要切,但这里我们通常需要切割成段,所以至少需要一次切割才能得到一段?)这里重新考虑:我们假设原材料需要切割才能得到零件,所以即使只切一段,也需要一次切割(把这段从原材料上切下来),但一次切割不会产生切口损失(因为切口损失发生在两次切割之间,一次切割只有一段,没有切口损失?)这需要明确。
修正切口损失:通常,每进行一次切割,就会在切口处损失材料。因此,切割出k段,需要k-1次切割(因为第一段不需要切割?不对,实际上,切割k段需要k-1次切割,因为每次切割将一段分成两段)。但还有一种情况:如果原材料两端不需要切割,那么切割k段需要k-1次切割。因此,切口损失为(k-1)*c。
但是,如果只切一段(即整根原材料作为一段),则不需要切割,因此切口损失为0。但在我们的问题中,如果零件长度等于原材料长度,那么不需要切割,切口损失0。如果零件长度小于原材料长度,则需要切割(至少一次)?不对,比如我们只需要一段,那么我们可以不切割直接使用整根,此时切口损失0。所以,当零件数k=1时,切口损失0;k>=2时,切口损失为(k-1)*c。
因此,修正约束:
总长度约束:$\sum_{i} a_{ij} l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L$,其中$k_j = \sum_i a_{ij}$。
重新枚举:
模式1: (3,0): k=3, 总长=3*2000+2*2=6004>6000 -> 不可行
模式2: (0,2): k=2, 总长=2*2500+1*2=5002<6000 -> 可行
模式3: (1,1): k=2, 总长=2000+2500+1*2=4502<6000 -> 可行
模式4: (2,0): k=2, 总长=2*2000+1*2=4002<6000 -> 可行
模式5: (0,1): k=1, 总长=2500+0=2500<6000 -> 可行(但这样会有大量剩余,一般不单独使用,因为需求150,我们可以用模式2一次切2根)
模式6: (1,0): k=1, 总长=2000<6000 -> 可行
模式7: (2,1): k=3, 总长=2*2000+2500+2*2=6504>6000 -> 不可行
模式8: (0,0): 无意义
因此,可行的切割模式有:
模式1: (0,2) -> 切2根零件2
模式2: (1,1) -> 切1根零件1和1根零件2
模式3: (2,0) -> 切2根零件1
模式4: (0,1) -> 切1根零件2
模式5: (1,0) -> 切1根零件1
但是,模式4和模式5效率低(剩余多),我们可能不会使用,但为了完整,我们包括。
建立主问题:
变量:x1(模式1使用次数)、x2(模式2)、x3(模式3)、x4(模式4)、x5(模式5)
目标:min x1+x2+x3+x4+x5
约束:
零件1:0*x1 + 1*x2 + 2*x3 + 0*x4 + 1*x5 >= 100
零件2:2*x1 + 1*x2 + 0*x3 + 1*x4 + 0*x5 >= 150
变量非负整数。
求解:
我们可以使用PuLP求解整数规划。
代码示例(使用PuLP):
```python
import pulp
# 定义问题
prob = pulp.LpProblem("Cutting_Stock", pulp.LpMinimize)
# 定义切割模式及其变量
# 模式1: (0,2) -> 零件1:0, 零件2:2
# 模式2: (1,1) -> 零件1:1, 零件2:1
# 模式3: (2,0) -> 零件1:2, 零件2:0
# 模式4: (0,1) -> 零件1:0, 零件2:1
# 模式5: (1,0) -> 零件1:1, 零件2:0
x = [pulp.LpVariable(f"x{i}", lowBound=0, cat='Integer') for i in range(1,6)]
# 目标函数:最小化原材料使用根数
prob += pulp.lpSum(x)
# 约束:满足零件需求
# 零件1需求100
prob += 0*x[0] + 1*x[1] + 2*x[2] + 0*x[3] + 1*x[4] >= 100
# 零件2需求150
prob += 2*x[0] + 1*x[1] + 0*x[2] + 1*x[3] + 0*x[4] >= 150
# 求解
prob.solve()
# 输出结果
print("Status:", pulp.LpStatus[prob.status])
for i in range(5):
print(f"x{i+1} =", pulp.value(x[i]))
print("Total rods used =", pulp.value(prob.objective))
```
运行结果(可能):
由于模式1(切2根零件2)效率高(一次切2根零件2),模式3(切2根零件1)效率也高,模式2(各1根)可以补充。而模式4和5效率低,可能不会使用。
假设求解得到:
x1 = 75(模式1,提供150根零件2)
x2 = 0
x3 = 50(模式3,提供100根零件1)
x4 = 0
x5 = 0
总根数=125
但是,这样零件1只有100根(满足),零件2有75*2=150根(满足)。总根数125。
另一种可能解:
使用模式1:75次(150根零件2),模式2:0次,模式3:50次(100根零件1),总根数125。
然而,我们还可以考虑混合模式:比如用模式2(1,1)同时生产零件1和2,减少总根数?我们计算一下:
设模式1(0,2)使用a次,模式2(1,1)使用b次,模式3(2,0)使用c次。
约束:
零件1:0*a + 1*b + 2*c >= 100
零件2:2*a + 1*b + 0*c >= 150
目标:min a+b+c
我们尝试:
由零件2:2a+b>=150
由零件1:b+2c>=100
目标最小化a+b+c。
我们可以让a尽可能大,因为a生产零件2效率高(一次2根)。设a=75,则零件2=150,零件1需要由b+2c>=100,且b=0(因为零件2已经满足,不需要b生产零件2),则2c>=100 -> c>=50,总根数75+50=125。
另一种:让a=74,则零件2=148,还需要2根零件2,所以b>=2(因为b可以生产零件2,同时生产零件1)。零件1:b+2c>=100,且b>=2。取b=2,则零件1=2,还需要98根,由c生产:2c>=98 -> c>=49,总根数=74+2+49=125,没有减少。
或者,让a=70,则零件2=140,需要10根零件2,所以b>=10(因为b生产1根零件2)。零件1:b+2c>=100,取b=10,则零件1=10,还需要90根,由c生产:2c>=90 -> c>=45,总根数=70+10+45=125。
因此,最小根数125。
计算利用率和损失率:
总原材料长度 = 125 * 6000 = 750000 mm
零件1总长度 = 100 * 2000 = 200000 mm
零件2总长度 = 150 * 2500 = 375000 mm
总有效长度 = 200000+375000 = 575000 mm
总损失长度 = 750000 - 575000 = 175000 mm
原材料利用率 = 575000 / 750000 ≈ 76.67%
切割损失率 = 175000 / 750000 ≈ 23.33%
但是,这个损失包括切口损失和料头损失。我们可以计算一下具体损失:
模式1:每次使用1根原材料,生产2根零件2,切口损失:1次切割(2mm),料头=6000-2500*2-2=6000-5002=998mm(每根原材料)
模式3:每次生产2根零件1,切口损失:1次切割(2mm),料头=6000-2000*2-2=6000-4002=1998mm(每根原材料)
总切口损失:模式1有75次,每次2mm;模式3有50次,每次2mm;总切口损失=125*2=250mm(注意:每个模式使用一次,切口损失是每个模式内的切口损失,模式1内一次切割损失2mm,模式3内一次切割损失2mm)
总料头损失:75*998 + 50*1998 = 74850 + 99900 = 174750 mm
总损失=250+174750=175000 mm,与上面一致。
然而,我们注意到,在模式1和模式3中,料头都很大,所以利用率低。是否有更好的切割模式?
重新考虑切割模式:我们之前枚举时,忽略了混合切割(比如同时切3根零件?)但之前计算模式(2,1)不可行(6504>6000)。那么有没有其他组合?比如零件1和零件2组合,但零件数超过2。
例如,切3根零件1:2000*3=6000,但需要2次切割(切口损失4mm),总长度6004>6000,不可行。
切3根零件2:2500*3=7500>6000,不可行。
或者,混合切:1根零件1和2根零件2:2000+2500*2=7000>6000,不可行。
2根零件1和1根零件2:4000+2500=6500>6000,不可行。
因此,我们枚举的切割模式已经是最全的。
但为什么利用率低?因为零件尺寸大,原材料长度与零件尺寸不匹配。改进方法:使用更长的原材料?或者设计更小的零件?或者考虑多根原材料组合切割(但问题是一维单根切割)。
因此,在给定条件下,最优解是125根原材料,利用率76.67%。
利润计算:假设每根原材料成本为C元,零件1售价P1元,零件2售价P2元。
总利润 = 100*P1 + 150*P2 - 125*C
注意:以上模型假设切割模式是预先确定的,但实际中切割模式是决策变量的一部分。列生成算法可以动态生成切割模式。
对于大规模问题,我们使用列生成算法。下面给出列生成算法的代码框架(使用PuLP,但列生成需要自己实现迭代)。
由于列生成算法较复杂,且本例很小,枚举即可。对于更多零件类型,列生成更有效。
总结步骤:
1. 确定原材料长度$L$和切口损失$c$。
2. 确定零件类型、长度$l_i$和需求量$d_i$。
3. 生成所有可行的切割模式(如果零件种类少,枚举;否则,用列生成迭代)。
4. 建立整数线性规划模型,目标为最小化原材料根数,约束为满足需求。
5. 求解整数规划。
6. 计算利用率:总零件长度和/(原材料根数*L)。
7. 计算切割损失率:1-利用率。
注意:在生成切割模式时,必须考虑切口损失。
代码示例(列生成)由于篇幅较长,且问题要求可操作性,我们给出一个简化的列生成代码框架(仅线性规划松弛,然后四舍五入取整,可能不是最优整数解,但接近最优)。
列生成代码框架(主问题为线性规划,然后对解取整):
初始化:添加一些初始切割模式(如每种零件单独切1根的模式)
迭代:
求解主问题(线性规划),得到对偶变量$\pi_i$(对应零件需求约束)。
求解子问题(背包问题):最大化$\sum_i \pi_i a_i$,满足$\sum_i a_i l_i + (\sum_i a_i -1) \cdot c \leq L$,$a_i$为非负整数。
计算子问题的最优值(即检验数=1-最优值),如果检验数<0(即最优值>1),则添加该切割模式到主问题;否则,停止。
最后,求解整数规划(使用生成的切割模式)。
子问题是一个整数规划,可以用动态规划(一维背包)或整数规划求解。
由于动态规划处理切口损失(切割次数与零件数相关)比较麻烦,我们使用整数规划求解子问题(零件种类少时可行)。
子问题模型(使用PuLP):
变量:$a_i$表示第i种零件的切割数量
目标:$\max \sum_i \pi_i a_i$
约束:$\sum_i a_i l_i + (\sum_i a_i -1) \cdot c \leq L$
$a_i$为非负整数
注意:约束条件是非线性的(因为$(\sum_i a_i)$与$a_i$相乘),但我们可以将其线性化:
令$k = \sum_i a_i$,则约束为:$\sum_i a_i l_i + (k-1) \cdot c \leq L$,其中$k$是变量。由于$k$是$a_i$的和,所以这是一个线性约束。
因此,子问题是一个整数线性规划。
列生成代码示例(仅展示迭代部分,主问题初始模式):
假设有m种零件,用列表存储零件长度和需求。
由于代码较长,这里不展开,但思路如上。
最后,根据用户的问题,我们给出一般步骤:
步骤1:收集参数
原材料长度$L$,切口损失$c$,零件信息(种类、长度、需求量)。
步骤2:生成切割模式
使用枚举法(零件种类少)或列生成算法(零件种类多)生成切割模式集合。
步骤3:建立整数线性规划模型
目标:最小化原材料使用根数(即最小化总成本,假设成本只与根数有关)。
约束:满足每种零件的需求。
步骤4:求解整数线性规划
得到每种切割模式的使用次数。
步骤5:计算指标
原材料利用率 = (所有零件总长度) / (原材料根数 * $L$)
切割损失率 = 1 - 利用率
利润 = 零件总售价 - 原材料总成本(假设售价已知,成本已知)
注意:如果用户提供了售价和成本,则直接计算;否则,只计算最小原材料消耗。
步骤6:输出最优切割方案(每种切割模式使用次数)和指标。
代码实现需要根据具体参数调整。
由于问题中没有给出具体的售价和成本,我们只考虑最小化原材料消耗。
因此,回答如下:</think>### 窗框生产最优切割方案设计与数学模型
针对窗框生产中的原材料切割问题,需根据订单需求和原材料尺寸建立数学模型,优化切割方案以实现利润最大化,并计算切割损失率和原材料利用率。核心模型为一维切割问题(Cutting Stock Problem),采用整数线性规划方法求解。
#### **数学模型建立**
设原材料长度为 $L$(如6000mm),切口损失为 $c$(如2mm/次)。零件类型集合 $I = \{1,2,\dots,m\}$,其中:
- $l_i$:第 $i$ 种零件的长度
- $d_i$:第 $i$ 种零件的需求量
- $a_{ij}$:切割模式 $j$ 中零件 $i$ 的数量
- $k_j = \sum_{i \in I} a_{ij}$:模式 $j$ 的总零件数
- $x_j$:切割模式 $j$ 的使用次数
**目标函数**(最小化原材料成本,等价于最大化利润):
$$\min \sum_j x_j$$
**约束条件**:
1. **需求约束**:
$$\sum_j a_{ij} x_j \geq d_i, \quad \forall i \in I$$
2. **切割可行性**(考虑切口损失):
$$\sum_{i \in I} a_{ij} l_i + (k_j - 1) \cdot c \leq L, \quad \forall j$$
3. **非负整数约束**:
$$x_j \in \mathbb{Z}^+$$
#### **计算指标**
- **原材料利用率**:
$$\eta = \frac{\sum_j \left( x_j \cdot \sum_i a_{ij} l_i \right) }{L \cdot \sum_j x_j} \times 100\%$$
- **切割损失率**:
$$\lambda = \left(1 - \eta \right) \times 100\%$$
- **利润计算**(需补充成本参数):
$$\text{利润} = \sum_i d_i p_i - C \cdot \sum_j x_j$$
其中 $p_i$ 为零件售价,$C$ 为单根原材料成本。
---
### **求解步骤与示例**
#### **1. 参数输入**
假设:
- $L = 6000\text{mm}$, $c = 2\text{mm}$
- 零件需求:$l_1=2000\text{mm}, d_1=100$;$l_2=2500\text{mm}, d_2=150$
#### **2. 生成切割模式**
枚举可行模式(需满足切割约束):
| 模式 | 零件1数量 | 零件2数量 | 总切口损失 | 料头长度 |
|------|-----------|-----------|------------|----------|
| A | 0 | 2 | 2mm | 998mm |
| B | 1 | 1 | 2mm | 1498mm |
| C | 2 | 0 | 2mm | 1998mm |
#### **3. 建立优化模型**
```python
import pulp
# 初始化问题
prob = pulp.LpProblem("Optimal_Cutting", pulp.LpMinimize)
# 定义变量:模式A、B、C的使用次数
x_A = pulp.LpVariable("x_A", lowBound=0, cat="Integer")
x_B = pulp.LpVariable("x_B", lowBound=0, cat="Integer")
x_C = pulp.LpVariable("x_C", lowBound=0, cat="Integer")
# 目标函数:最小化原材料根数
prob += x_A + x_B + x_C
# 需求约束
prob += 0 * x_A + 1 * x_B + 2 * x_C >= 100 # 零件1
prob += 2 * x_A + 1 * x_B + 0 * x_C >= 150 # 零件2
# 求解
prob.solve()
# 输出结果
print(f"模式A使用次数: {x_A.value()}")
print(f"模式B使用次数: {x_B.value()}")
print(f"模式C使用次数: {x_C.value()}")
print(f"总原材料根数: {pulp.value(prob.objective)}")
```
#### **4. 结果分析**
- **最优解**:$x_A=75$, $x_B=0$, $x_C=50$,总根数 $=125$
- **利用率计算**:
- 有效材料 $= (75 \times 2 \times 2500) + (50 \times 2 \times 2000) = 575,000\text{mm}$
- 总材料 $= 125 \times 6000 = 750,000\text{mm}$
- $\eta = 575,000 / 750,000 = 76.67\%$
- **损失率**:$\lambda = 23.33\%$
#### **5. 利润优化建议**
- 若零件售价 $p_1=50$ 元, $p_2=60$ 元,原材料成本 $C=100$ 元:
- 利润 $= (100 \times 50 + 150 \times 60) - (125 \times 100) = 15,500$ 元
- **改进方向**:
- 引入更多切割模式(如零件组合 $[1,0,1]$)
- 使用列生成算法处理大规模问题
- 调整原材料长度匹配零件尺寸
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