最大公约数的四种方法

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原创最新推荐文章于 2025-12-26 10:32:00 发布 1.3w 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

求最大公约数的四种算法一．题目分析如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。根据约数的定义可知，某个数的所有约数一定不大于这个数本身，几个自然数的最大公约数也一定不大于其中任何一个数。所以当要求任意两个正整数的最大公约数，即是求出一个不大于其中两数中的任何一个，但又能同时整除两个整数的... 阅读详情

最大公约数的四种方法

前言
1.暴力穷举法
2.辗转相除法
3.更相减损法
4.stein算法

前言

求两数的最大公约数，一共有四种方法：暴力穷举法、更相减损法、辗转相除法、stein 算法，小女不才，花了几天的时间终于把这几种方法全部弄明白，现在就把它们全部分享出来。

首先，假设被求的两个数为 x、y，且 x > y。最大公约数 d = gcd (x , y)

1.暴力穷举法

正如名字所说，暴击穷举法就是简单粗暴地把 1~ y（前面已经假设 x > y）都列出来分别判断是否为 x、y 的公约数，然后再找到其中最大的一个。

暴力穷举法最大的特点就是简单直接、很容易理解，但是计算比较繁琐。

2.辗转相除法

辗转相除法是由古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中提出的，所以辗转相除法又名欧几里得算法。

步骤

假设要用辗转相除法求 36 和 24 的最大公约数，则要经历以下步骤：

36 ÷ 24 = 1 …… 12
24 ÷ 12 = 2 …… 0
12 为 36 和 24 的最大公约数

即

先用 x 除以 y
若余数为 0 则 y 为两数的最大公约数；若余数不为零，则令 x = y，y = 余数，重复步骤 1 直到余数为 0，此时的 y 为两数的最大公约数。

原理

相信从上面的阐述中，大家应该可以发现，辗转相除法依赖于一个定理：

两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数取模的最大公约数。

即：gcd (x , y) = gcd (y , x % y ) ，其中 x > y。

证明：

设 d = gcd (x , y);
则 x % d = 0 , y % d = 0 ;
则设 x = a * d , y = b * d ;
余数 r = x % y = (a * d) % (b * d) = d * (a % b);
所以 r % d = 0 ;
即 (x % y) % d = 0;
所以 gcd (x , y) = gcd (y , x % y )

3.更相减损法

更相减损法出自《九章算术》，其原理其实与辗转相除法一样，只是辗转相除法将的是相除取余，而更相减损法讲的是相减取差。

步骤

下面先看实例：（还是求36和24的最大公约数）

36 - 24 = 12
24 - 12 = 12
12 是 36 和 24 的最大公约数

即：

x - y = r
若 r = 0 ，则 x = y ，最大公约数为它本身；若 r ≠ 0，则令 x = y 和 r 中较大的一个数 , y = 剩下的另一个数，重复步骤 1 直到 r = 0，此时的 x = y ，即为最大公约数。

原理

从上面的阐述中，大家应该也能发现，更相减损法的原理依赖于下式：

gcd (x , y) = gcd (y , x % y ) ，其中 x > y。

证明：

d = gcd (x , y);
则 x % d = 0 , y % d = 0;
设 x = a *d , y = b * d;
则 r = x - y = a * d - b * d = d * (a - b);
所以 r % d = 0;
即 (x - y) % d = 0;
所以 gcd (x , y) = gcd (y , x - y);