Nim游戏—改博弈论解题报告

最新推荐文章于 2025-07-11 11:49:38 发布

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#博弈树

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本文介绍了一款改进版的Nim游戏，并提供了一个高效的算法解决方案。游戏中加入了每堆石子有一次额外机会的新规则，增加了游戏的复杂度。文章详细阐述了如何通过不同级别的数据规模来解决这个问题，包括暴力解法、动态规划以及最终的快速解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Nim游戏·改(nim.c/cpp/pas)

题目描述

众所周知的Nim游戏是这样的：有n堆石子，小A和小B轮流取石子，小A先操作，每次选择一堆石子，在这堆中取走任意多个石子，最后没有石子可取的人输。现在为了加强Nim游戏难度，每堆非空石子有一次额外的特殊机会，即耗掉这个机会，然后什么也不拿走，而其他条件都不变。当然，如果你将一堆本来有额外机会的石子拿空，那么这次额外机会也就没有了。
现在假设小A和小B都绝顶聪明，他们将进行T轮游戏。每轮游戏若小A必胜，输出“A”，否则输出“B”。

输入格式

第一行为一个整数T，表示游戏轮数。
接下来T组数据。每组数据第一行包含一个数 n，表示石子堆数；接下来一行n个数，表示每堆石子的个数A[i]。

输出格式

对于每轮游戏输出一行，表示必胜的玩家。

样例输入

2
2
1 2
2
2 2

样例输出

A
B

数据范围与约定

对于前20％的数据 T=3 , n=3 , A[i]<=4。
对于前40％的数据 T<=100000 , n=3 , A[i]<=40
对于100％的数据n<=100000，n*T<=1000000 , 1<=A[i]<=1000000000。

思路

前20％的数据：大暴力。
前40％的数据：dp[i][j][k][sta]表示第一堆有i个石子，第二堆有j个石子，第三堆有k个石子，额外机会使用状态为sta时，先手是否必胜。一个状态必胜，当且仅当其后继状态存在一个必败态；当然，一个状态必败，也就当且仅当其后继状态全为必胜态。用记忆化搜索来做即可。
前100％的数据：
用这类博弈问题的基础处理方式，即把各游戏独立开，各自求SG后再异或起来。
这题中一堆石子即一个独立的游戏，可以手推一下SG或者打一下表，也可以用归纳法证明：一个有额外机会的石子数为i的一堆，若i为奇数，则SG值为i+1；若i为偶数，则SG值为i-1。于是O(1)得到每一堆的SG值后异或起来即可。
这道题主要考察对博弈论基础的掌握。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=100000+5;
int T,n,stone[N],now,m,ans;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    freopen("nim.in","r",stdin);
    freopen("nim.out","w",stdout);
    T=read();
    while(T--)
    {
        now=0;
        n=read();
        for (register int i=1;i<=n;i++)
        {
            stone[i]=read();
            if (stone[i]%2==1) stone[i]++;
            else stone[i]--;
            now^=stone[i];
        }
        if (now==0) printf("B\n");
        else printf("A\n");
    }
    return 0;
}