数据结构与算法——递归简论

• 本文简述了基于C语言的递归(recursive)和使用递归的四条基本法则

我们先用数学语言来描述一下什么是递归，如：
$F(X) =$

$$\begin{cases} 0, & \text{ $X=0$} \\ 2F(X-1)+x^2, & \text{ $X\neq0$} \end{cases}$$
当一个函数使用它自己来定义时就称为是递归。在C中，函数$F(X)$的实现如下：

int F( int X ){
    if( X == 0 )
        return 0;
    else return 2*F(X-1)+X*X;
}

实际上，递归调用在处理上与其他的调用没什么不同。如果以F(4) 调用函数F(int x)，那么程序就会计算$2F(3)+4*4$,紧接着调用F(3)……此时，$F(0)$必须被赋值，否则，程序将会不断地执行下去，直至崩溃。我们把$F(0)=0$的情况叫做基准情形(base case)。我们再来看一个错误使用递归的例子：

int Bad( unsigned int N){
    if (N == 0)
        return 0;
    else return Bad(N/3+1)+N-1;
}

我们可以看到，除$0$之外，对于任意的$N$，程序都不可能算出结果。因此，我们可以得出递归的两个基本准则：

1. 基准情形。设计递归时总要有某些基准的情形，它们不用递归就可以求解，如上面的$N==0$的情况。
2. 不断推进(making progress)。既然有了基准情形，那么对于那些需要递归求解的情形，递归调用必须总能够朝着基准情形的方向推进。

下面我们再来看看使用递归打印一个正整数$N$的例子（假设现在的I/O只能处理单个数字并将其输出到终端，Printout(N)为处理单个数字的输出函数），例如，PrintDigit(4)就是将“4”输出到终端。现在，我们需要实现将“12345”输出到终端，首先需要打印出‘1’，然后是‘2’……假设我们已经打印出了”1234”，再打印’5’时，使用语句PrintDigit(N%10)就可以完成。对于前面的情况，我们可以用同样的方法解决。因此，我们可以使用语句PrintOut(N/10)递归地解决这个问题。

？ - 也许这里会产生疑问，“上面所说的基准情形如何定义？”。如果$0 \le N \lt 10$，我们就使用PrintDigit(N)直接输出$N$，所以PrintDigit(N)就是基准情形。而对于一个正整数$N$，我们可以通过PrintOut(N)来用较小的正整数定义它，这样也保证了递归的不断推进。

过程代码如下：

void PrintOut( unsigned int N ){
    if(N >= 10)
        printOut( N/10 );
    PrintDigit( N%10 );
}

• 证明（前方高能）

首先，如果N只有一位数字，那么程序显然是正确的，因为它只需调用一次PrintDigit(N)。
然后，设PrintOut(N)对所有$k$位或者位数更少的数都有效。对于$k+1$位的数，可以通过前$k$位数字和最后一位数字来表示。前$k$位数字就是程序中的(int)(N/10)，即$N/10$后向下取整，而最后一位数字是$N mod 10$（N%10）。因此，该程序能够正确地打印出任意$k+1$位数。于是，根据归纳法，所有的数都能被正确地打印出来。

因此，我们可以得出递归的第三条法则：
       3. 设计法则(design rule)。假设所有的递归调用都能运行（这也是上面为什么要证明的原因）。当设计递归程序时一般没有必要知道簿记管理的细节，因为有时追踪实际的递归调用序列是非常困难的。另一方面，这也体现了递归的好处——计算机能够算出复杂的细节。
递归的主要问题是隐含的簿记开销，虽然这些开销几乎总是合理的（既简化了算法设计，又给出了更加简介的代码），但要注意的是，不要尝试用递归来代替简单的for循环。
最后，递归的第四条法则是：
        4. 合成效益法则(compound interest rule)。在求解一个问题的同一实例时，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。

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Reference:
[1]. Data Structures and Algorithm Analysis in C Second Edition, Mark Allen Weiss