01背包 动态规划（三）

01背包问题详解，暴力递归改动态规划

测试数据：

		int n=5;//物品个数
		int m=20;//背包容量
		int[] weight=new int[]{0,2,3,4,5,9};//物品重量
		int[] value=new int[]{0,3,4,5,8,10};//物品价值

1.递归版本：

private static int knapsack(int n,int m,int[] w,int[] v) {
		if(n==0||m==0){
			return 0;
		}else if((m>w[n])&&((knapsack(n-1, m-w[n], w, v)+v[n])>knapsack(n-1, m, w, v))){
			return knapsack(n-1, m-w[n], w, v)+v[n];
		}else{
			return knapsack(n-1, m, w, v);
		}
	}

2.分析可变参数，哪几个可变参数的值能代表返回状态，几个可变参数，就构造几维表。

    本题中，背包所装得物品的最大价值只与背包容量和物品个数有关，所以dp表为二维：

 

3.根据base case填表：

if(n==0||m==0){
			return 0;
		}

 

 

 

n\m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0
5	0

4.分析一个普遍位置的规律：

if((m>w[n])&&((knapsack(n-1, m-w[n], w, v)+v[n])>knapsack(n-1, m, w, v))){
			return knapsack(n-1, m-w[n], w, v)+v[n];
		}else{
			return knapsack(n-1, m, w, v);
		}

如果一个位置的列（即背包容量）>它的w[n]（即物品质量）,要知道这个位置的值，就得知道它（上一行,本列+w[n]）+v[n] 元素的值和（上一行，本列） 元素的值，取其二者中最大值；

如果一个位置的列（即背包容量）<= 它的w[n]（即物品质量）,要知道这个位置的值，就得知道它（上一行,本列）元素的值。

 

补全dp表（略，见下图）：

 

n\m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	00	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0
5	0

 

动态规划的代码为：

 

// dp
	private static int dpknapsack(int n, int m, int[] w, int[] v) {
		int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
		// for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
		// dp[i][0] = 0;
		// }
		// for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
		// dp[0][j] = 0;
		// }
		for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
			for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
				if (j > w[i]) {
					int value1 = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i];
					int value2 = dp[i - 1][j];
					dp[i][j] = value1 > value2 ? value1 : value2;
				} else {
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				}
			}
		}

		for (int x = 0; x < n + 1; x++) {
			for (int y = 0; y < m + 1; y++) {
				System.out.print(dp[x][y] + "\t");
			}
			System.out.println("");
		}
		return dp[n][m];
	}