矩阵的最小路径和动态规划（一）

最新推荐文章于 2021-12-10 16:30:19 发布

原创最新推荐文章于 2021-12-10 16:30:19 发布 · 1k 阅读

3 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法 #动态规划

刷题专栏收录该内容

11 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种将暴力递归转换为动态规划的方法，并通过一个寻找矩阵中从左上角到右下角的最小路径和的问题进行了详细解析。文章首先展示了递归版本的解决方案，然后逐步分析并转化为动态规划问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

暴力递归改动态规划

例：给你一个二维数组，二维数组中的每个数都是正数，要求从左上角走到右下角，每一步只能向右或者向下。沿途经过的数字要累加起来。返回最小的路径和。

测试数组：

int[][] m = { { 3, 1, 0, 2 }, { 4, 3, 2, 1 }, { 5, 2, 1, 0 } };

1.写出尝试（递归）版本

	private static int minpath1(int[][] matrix, int i, int j) {
		if (i == matrix.length - 1 && j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j];
		}
		if (i == matrix.length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i, j + 1);
		}
		if (j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i + 1, j);
		}
		int right = minpath1(matrix, i, j + 1);// right:右边位置到右下角的最小路径和
		int down = minpath1(matrix, i + 1, j);// down:下边位置到右下角的最小路径和
		return matrix[i][j] + Math.min(right, down);
	}

2.分析可变参数，哪几个可变参数的值能代表返回状态，几个可变参数，就构造几维表。

在本题中，数组是不可变的，最小路径和只与i,j位置有关，i,j确定了，最小路径和就确定了，所以本题是一个无后效性问题（给定一个点，不管路径如何，最小路径和都固定什么是有后效性问题？n后问题，汉诺塔问题。汉诺塔问题要求打印所有步骤的解，所以之前做过的选择必然影响后续的解），一定能改为动态规划问题。

3.回到尝试版本，看base case，找到不被依赖的位置。

base case:

if (i == matrix.length - 1 && j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j];
		}
		if (i == matrix.length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i, j + 1);
		}
		if (j == matrix[0].length - 1) {
			return matrix[i][j] + minpath1(matrix, i + 1, j);
		}

当i,j的位置到达最后一行或最后一列时，最小路径和是确定的。所以这张表可以填成这样：

			3
			1
8	3	1	0

4.分析一个普遍位置是怎么依赖的，反过来就是计算数序。

int right = minpath1(matrix, i, j + 1);// right:右边位置到右下角的最小路径和
		int down = minpath1(matrix, i + 1, j);// down:下边位置到右下角的最小路径和
		return matrix[i][j] + Math.min(right, down);

要知道一个普遍位置到右下角的最小路径和，就得知道它右边和下边到右下角的最小路径和。所以这张表就可以填完了：

7	4	3	3
10	6	3	1
8	3	1	0

动态规划的代码为：

private static int minpath2(int[][] matrix, int x, int y) {
		int row = matrix.length;
		int col = matrix[0].length;
		int[][] dp = new int[row][col];
		dp[row - 1][col - 1] = matrix[row - 1][col - 1];
		for (int i = col - 2; i >= 0; i--) {
			dp[row - 1][i] = matrix[row - 1][i] + dp[row - 1][i + 1];
		}
		for (int j = row - 2; j >= 0; j--) {
			dp[j][col - 1] = matrix[j][col - 1] + dp[j + 1][col - 1];
		}
		for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
			for (int j = col - 2; j >= 0; j--) {
				dp[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
			}
		}
		// for (int i = 0; i < row; i++) {
		// for (int j = 0; j < col; j++) {
		// System.out.print(dp[i][j] + "\t");
		// }
		// System.out.println("");
		// }
		return dp[x][y];
	}