动态规划之最优化原理与动态规划方程

动态规划

引言

  1951年，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等根据一类所谓多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并研究了许多实际问题，从而创立了最优化的一个新分支----动态规划。
  动态规划没有统一的数学模型，对不同的问题要采用不同的方法去建立它们的模型。有了模型之后，要想得到数值解，仍然没有统一的处理方法。这是应当注意的。

1 动态规划原理

1.1 最短路问题及其解法

最短路问题及其解法

1.2 动态规划的基本概念和术语

动态规划的基本概念和术语

1.3 最优化原理与动态规划方程

1.3.1 最优化原理

  对于多阶段决策问题，作为整个过程的最优策略必然具有这样的性质：无论过去的状态和决策如何，就所形成的状态而言，余下的诸策略必然构成一个最优子策略。多阶段决策问题的这一规律称为最优化原理。

1.3.2 逆序动态规划方程

  对后部指标函数$F_{k,n}$及最优函数$f_k(x_k)$有

  （1）当$F_{k,n}=\sum _{j=k}^{n}d(x_j,u_j)$时，$f_k(x_k)满足递推方程$
{ f k ( x k ) = o p t u k ∈ D k { d ( x k , u k ) + f k + 1 ( x k + 1 ) } ， f n + 1 ( x n + 1 ) = 0 , k = n , n − 1 , ⋯   , 2 , 1 \left\{ \begin{array}{lcl} f_k(x_k) = \mathop{opt} \limits_{u_k \in D_k} \{ d(x_k,u_k) + f_{k+1}(x_{k+1})\} ，\\ f_{n+1}(x_{n+1})=0, k=n,n-1,\cdots,2,1 \end{array} \right. { fk​(xk​)=uk​∈Dk​opt​{ d(xk​,uk​)+fk+1​(xk+1​)}，fn+1​(x