D3D12学习笔记2.2——矩阵行列式

·开头我们先说一下单位矩阵的概念，就是一种主对角线都是1，其余元素都是0的特殊矩阵。在矩阵中任何方阵与单位矩阵相乘得原矩阵，所以在这种特殊情况下，与单位举证相乘的式子满足交换律。

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·下面引入行列式的相关内容，行列式是一种特殊的函数，它以一种方阵输入，输出一个实数。

·首先，介绍一下余子阵的概念，其含义就是去除A矩阵中的第i行和第j列的（n-1）x (n-1)矩阵。

·行列式定义，这个公式很关键。，我们主要使用的是4*4矩阵的计算，往上的矩阵暂时不计算。

·伴随矩阵的概念，设A为一个n x n矩阵。乘积称为元素Aij的代数余子式。

·如果为矩阵A中的每一个元素分别计算出Cij，并将它置于矩阵中第i行、第j列的相应位置，那么就获得了矩阵A的代数余子式矩阵。

·若取矩阵的转置矩阵，将得到矩阵A的伴随矩阵。记作：。在后面用来计算逆矩阵使用。

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·矩阵代数不存在除法运算的概念，但是定义了矩阵乘法的逆运算。总结了以下关键信息。

1.只有方阵才具有逆矩阵。

2.n x n 的矩阵M的逆也是一个n x n 的矩阵，并表示为M^-1。

3.不是每个方阵都有逆矩阵。存在的称可逆矩阵，不存在的称奇异矩阵。

4.可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。

5.矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵,同时这也是一种满足交换律的特殊情况。

·介绍完这些，我们来看看下面的推到。

p`=pM，一直p`和M,且M可逆，求p？

不难发现，p`M^-1=pMM^-1,我们刚得到逆矩阵与原矩阵相乘为单位矩阵,且pI=p。

下一步就得到，p`M^-1=p。

·至于求逆的推导过程这里不再赘述，放下一个公式：。

·最后，给出一个代数性质，。

·注：我们在对于规模较小的矩阵运算时运用伴随矩阵的方法将得到不错的计算效率。但针对规模更大的矩阵而言，就要使用高斯消元法等手段了。在接下来的3D图形学中所涉及的具有特殊形式的矩阵，我们提前确定了他们的求逆矩阵公式。这样就不会浪费CPU资源以来提升效率，继而尽量不用求逆公式。