背包问题（持续更新）

背包问题真的是学一遍忘一遍，所以这次打算记录一下思考历程，以便以后查看方便

0. 01背包

问题描述：有n个重量和价值分别为 wi,vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 V 的物品， 求所有挑选方案中价值总和的最大值。

基本思路：这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。状态转移方程：

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])

先说二维数组的方法：
不知道怎么说，直接上代码，然后详解代码意义8
思路都在注释里

//这个数组表示横行表示的是物品的体积，纵行表示的是第几个物品
//数组里的值为在包的体积为j，第i件物品的时候，所能得到的最大价值
int arr[100][100];
int w[100],c[100];//w数组是物品的价值(weight)，c数组是物品的体积（cost）
int main()
{
    int n,v;//物品的个数和背包的体积
    scanf("%d %d",&n,&v);
    
    for(int i=1;i<n+1;i++)
    {
        scanf("%d %d",&w[i],&c[i]);//输入物品的价值和消耗
    }
    for(int i=1;i<n+1;i++)
    {
        for(int j=1;j<v;j++)
        {
            if(c[i]>j)
            {
                //当物品i的体积大于当前背包体积的时候，直接继承上一件物品最优状态
                //因为装不进去，arr数组每一个单位都是当前背包体积，当前见到的物品个数的情况下最优的
                //所以可以保持最优状态
                arr[i][j]=arr[i-1][j];
            }
            else
            {
                /*  当物品i的体积小于当前背包体积即能装进去的时候
                让不装此物品的价值和装了此物品的价值做比较，选择较大值作为该状态
                arr[i-1][j]为不装此物品的价值
                arr[i-1][j-c[i]]+w[i]为装此物品的价值，即上一行刚好空出c[i]体积大小
                物品时的最优状态，加上物品i的价值即为装i物品时的价值，然后比较这两者大小
                判断该体积下是否要装物品i   */
                arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i-1][j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    //这样一个循环下来，arr[n][v]即为当书包的体积为v的情况下，n个物品所能带走的最大价值
}

二维数组的方法就是太浪费空间了，其实可以用滚动数组来实现该问题，这样可以大大减少空间的使用，因为在二维数组实际上可以发现有很多数据就是承接的上一行的，其实根本没有必要这样写，完全可以用一个一维数组来减少空间复杂度
下边贴一维数组解决方法，不贴注释了，理解二维数组一维数组也就不难理解了
我把滚动数组的每一次外循环后的值写了出来（神tm，我忘了printf大法了，自己手算花了一个变化图，嘤嘤嘤），如图：

一维数组01背包：

//这个数组表示横行表示的是物品的体积，纵行表示的是第几个物品
//数组里的值为在包的体积为j，第i件物品的时候，所能得到的最大价值
int arr[100];
int w[100],c[100];//w数组是物品的价值(weight)，c数组是物品的体积（cost）

int main()
{
    int n,v;//物品的个数和背包的体积
    scanf("%d %d",&n,&v);
    
    for(int i=1;i<n+1;i++)
    {
        scanf("%d %d",&w[i],&c[i]);//输入物品的价值和消耗
    }
    for(int i=1;i<n+1;i++)
    {
        for(int j=v;j>=c[i];j--)
        {
            arr[j]=max(arr[j],arr[j-c[i]]+w[i]);
        }
    }
    //这样一个循环下来，arr[v]即为当书包的体积为v的情况下，n个物品所能带走的最大价值
}

先更到这里，饿了回家恰饭了，剩下的下午更