程序的时间复杂度

一、概念

1. 时间复杂度：随着n的不断变化，T(n)/f(n)逐渐趋近于一个常数，我们使用O(f(n))来表示时间复杂度

   我的理解就是：
   时间复杂度就是： 程序循环体内，执行次数最多的语句的执行次数，若并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。
   时间复杂度排序：
   Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

2. 步骤：

   1.首先找到执行次数最多的基本语句，一般都是在最内层循环的循环体内
   2.查看该基本语句执行的次数
   3.对于并列循环，则把复杂度相加，得出最后该程序的时间复杂度
   (保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数)

3. 示例：

   时间复杂度：O(1)
   核心：n是不变的，就执行固定次数，有限的;
   Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)

    int sum=0,n=100;           //执行一次
    sum=(1+n)*n/2;             //执行一次
    System.out.println(sum);   //执行一次 

时间复杂度：O(log2n)
i一次增长2倍，也就是说，超过n需要执行多少次语句，即为时间复杂度。通过计算2^i=n，得到i=logn.所以时间复杂度为对数阶O(logn).

int i = 1;
while(i < n){
i * = 2;
} 

时间复杂度：O(n)
n是因为一次增长一步，n次后执行完了这条语句，所以为O(n)

例子1：
    int b =0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
    b++;
    } 

例子2：
    int i,sum=0,n=100;     //执行一次
    for(i=1;i<=n;i++)      //执行n+1次
    {
        sum=sum+i;         //执行n次
    }

    System.out.println(sum);  //执行一次  

时间复杂度：O(n2)

　例子1：
　　for (i=1; i<=n; i++){
　　for (j=1; j<=n; j++)
　　{x++;}
　　}

例子2：
    int i,j,x=0,sum=0,n=100;     //执行一次
    for(i=1;i<=n;i++){           //执行n+1次
        for(j=1;j<=n;j++){       //执行n*(n+1)次
            x++;                 //执行n*n次
            sum=sum+x;
        }
    }
    System.out.println(sum);   //执行一次 


这段代码执行了2n^2+2n+3次,即O(n2)，随着这段代码重复被执行的次数增多，随着n值增大，时间效率会爆炸式增长。

小结：

1. O(1)常数阶：每条语句的频度都是1，算法的执行时间不随着问题规模n增大而增长，即使有上千条语句，其执行时间也不过是一个比较大的常数。
2. O(n)线性阶：有一个n次循环的循环语句。随着n增长执行时间线性增长。
3. O(n^2)平方阶：循环中嵌套一个循环的情况。
4. 时间复杂度大小体现：
   

参考：https://blog.youkuaiyun.com/c99463904/article/details/77414163