超级次方取模问题

本文深入探讨了在特定模数下进行幂运算的有效算法。通过递归分解和模幂运算,实现了对大数的高效计算,特别适用于密码学和信息安全领域。

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/**
 * @param {number} a
 * @param {number[]} b
 * @return {number}
 */
var superPow = function(a, b) {
	if(b == null || b.length === 0) return 1;

	function powMod(x, y) {
		let res = 1;
		for(let i = 0; i < y; i++) {
			res = res * x % n;
		}
		return res;
	}
	
	//对1337求余
	const n = 1337;
	let res = 1;
	a %= n;
	for(let i = b.length - 1; i >= 0; i--) {
		res = powMod(a, b[i]) * res % n;
		a = powMod(a, 10);
	}
	return res;
};

 

### Python 中实现矩阵快速幂并 为了高效地计算大型矩阵的高次幂,可以采用矩阵快速幂算法。该方法利用二分的思想,在对数时间内完成指数运算,并结合操作防止数溢出。 #### 矩阵快速幂原理 矩阵快速幂的核心在于将普通的线性时间复杂度优化到对数级别的时间复杂度 O(log n),这使得处理大规数据成为可能。具体来说,当需要计算 \( A^n \mod m \) 时: - 如果 n 是偶数,则先计算 \( (A^{n/2})^2 \mod m \) - 如果 n 是奇数,则分解成 \( ((A^{(n-1)/2})^2 * A) \mod m \) 这种方法不仅提高了效率,还减少了中间结果可能出现的大数问题。 #### 使用 NumPy 库简化矩阵运算 NumPy 提供了高效的数组和矩阵操作接口,能够显著提升性能。下面是一个完整的 Python 函数定义,实现了上述逻辑[^3]。 ```python import numpy as np def matrix_power_mod(matrix, power, mod): """ 计算给定矩阵matrix的power次方mod的结果 参数: matrix: 输入的基础方阵 power : 幂次 mod : 基数 返回: 结果矩阵 """ result = np.eye(len(matrix), dtype=int) % mod # 初始化单位矩阵作为初始结果 base_matrix = matrix.copy() # 复制输入矩阵以防修改原对象 while power > 0: if power & 1: # 当前位为1则相乘 result = (result @ base_matrix) % mod base_matrix = (base_matrix @ base_matrix) % mod # 更新底数 power >>= 1 # 移除最低有效位 return result ``` 此函数接受三个参数:待幂的 `matrix`、所需的 `power` 和最终要使用的 `mod` 。通过循环迭代的方式逐步构建最终的结果矩阵。
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