整数分解——试除法和筛选法

最新推荐文章于 2024-12-04 14:44:36 发布

Grady_Ne

最新推荐文章于 2024-12-04 14:44:36 发布

阅读量1.8k

点赞数 3

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数论文章标签：整数分解试除法和筛选法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Grady_Ne/article/details/62893535

数论专栏收录该内容

31 篇文章

订阅专栏

本文介绍两种整数分解方法：试除法与筛选法。通过示例详细解释了如何使用这两种方法将任意正整数分解为其素数因子的乘积形式，并提供了完整的C语言代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

应用试除法对正整数n进行分解

算法设计：

令m=n,从2到根号n进行一一枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素因子。并用整数m将当前数除尽为止。

若循环结束后m是大于1的正整数，那么此时的m也是n的素因子。

代码如下：

void divide(int n)
{
    int i,count=0;
    int factor[N];
    for(i=2;i<=sqrt(n+0.0);i++)
    {
        while(n%i==0)
        {
            count++;
            factor[count]=i;
            n/=i;
        }
    }
    if(n!=1)
    {
        count++;
        factor[count]=n;
    }
}

例题一：Eddy's research I

题目描述：Eddy 发现任何正整数都可以写成素数乘积的形式，但是他的C语言学得不好，你能帮他写一个程序实现上述功能吗。

输入：输入数据有多组，每组数据占一行，包含一个整数1<x<=65535

输出：对应每组输入输出x的整数分解形式，具体见样例。

Sample Input

11
9412

Sample Output

11
2*2*13*181

分析：试除法的简单应用

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 10005
using namespace std;
void divide(int n)
{
    int i,count=0;
    int factor[N];
    for(i=2;i<=sqrt(n+0.0);i++)
    {
        while(n%i==0)
        {
            count++;
            factor[count]=i;
            if(count!=1)
                printf("*");
            printf("%d",i);
            n/=i;
        }
    }
    if(n!=1)
    {
        count++;
        factor[count]=n;
        if(count!=1)
            printf("*");
        printf("%d",n);
    }
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        divide(n);
        printf("\n");
        getchar();
    }
    return 0;
}

筛选法对整数进行分解：

显然试除法进行了许多不必要的试除运算，如果首先将2到根号n的所有素数打表，然后对应素数表一一试除将会大大节省时间。

算法设计：令m=n,将2到根号n 的素数进行打表，然后对素数进行一一试除。如果能够整除m，那么当前数就是n的素数因子，并用整数m将当前数除尽为止。

若循环结束后，m是大于1的整数，那么此时m也为n的素数因子

模板代码如下

int prime[N];/// 存储素数
int nprime;///记录素数的个数
bool isprime[N];
void make_prime()
{
    int i,j;
    nprime=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=0;
    for(i=2;i<=sqrt(N);i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            nprime++;
            prime[nprime]=i;
            for(j=i*i;j<N;j+=i)
            {
                isprime[j]=0;
            }
        }
    }
}
void divide(int n)
{
    int i,count=0;
    int factor[N];
    int temp=sqrt(n+0.0);
    for(i=1;i<=nprime;i++)
    {
        if(prime[i]>temp)
            break;
        while(n%prime[i]==0)
        {
            count++;
            factor[count]=prime[i];
            n/=prime[i];
        }
    }
    if(n!=1)
    {
        count++;
        factor[count]=n;
    }
}

例题二：利用筛选法实现例题一的代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 65536
using namespace std;
int prime[N];///存储素数
int nprime;///记录素数的个数
bool isprime[N];///记录是否为素数
void make_prime()
{
    int i,j;
    nprime=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[1]=0;
    for(i=2;i<=sqrt(N);i++)
    {
        if(isprime[i])
        {
            nprime++;
            prime[nprime]=i;
            for(j=i*i;j<N;j+=i)
            {
                isprime[j]=0;
            }
        }
    }
}
void divide(int n)
{
    int i,count=0;
    int factor[N];
    int temp=sqrt(n);
    for(i=1;i<=nprime;i++)
    {
        if(prime[i]>temp)
            break;
        while(n%prime[i]==0)
        {
            count++;
            factor[count]=prime[i];
            n/=prime[i];
            if(count!=1)
                printf("*");
            printf("%d",prime[i]);
        }
    }
    if(n!=1)///并非每个数都执行这一步
    {
        count++;
        factor[count]=n;
        if(count!=1)
            printf("*");
        printf("%d",n);
     }
}
int main()
{
    int n;
    make_prime();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        divide(n);
        printf("\n");
        getchar();
    }
    return 0;
}