C++算法·差分

差分$(Difference$ $Array)$ 的定义

差分是一种高效处理区间更新问题的技巧，常用于数组或序列的批量增减操作
它的核心思想是将原始数组的区间操作转换为差分数组的单点操作
从而将时间复杂度从$O(N)$优化至$O(1)$
最终通过前缀和还原结果

核心概念

1. 差分数组定义
   差分数组$diff(简称d)$是原数组$arr(简称a)$的相邻元素之差
   即$d[i]=arr[i]-arr[i-1](i>0)$
   差分数组的前缀和可以还原原数组
   体现了差分与前缀和互为逆运算的关系
2. 区间更新优化
   若要对原数组的区间$[L,R]$统一增加一个值$val$,只需在差分数组上修改两个点:
   $d[L]+=val$(表示从$L$开始的所有元素增加$val$)
   $d[R+1]-=val$(表示从$R+1$开始的所有元素抵消$val$的影响)
   这一操作将原本需要遍历区间内每个元素的$O(N)$操作优化为$O(1)$
   3.优势与特点
   高效性:适用于多次区间更新、单次查询的场景
   空间优化:差分数组仅需额外$O(N)$空间,且可原地构建
   扩展性:可推广至多维差分(如矩阵区域更新)

模板代码

最小值版

#include<iostream>
using namespace std;
int a[5000001];//原数组
int d[5000001];//差分数组
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		d[i]=a[i]-a[i-1];//构建差分数组
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r,val;
		cin>>l>>r>>val;
		d[l]+=val;//左端点加值
		d[r+1]-=val;//右端点+1减值
	}
	int min_val=2147483647;
	//设置大的数值用于更改
	//2147483647是int储存的正数上限
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i-1]+d[i];//前缀和还原数组
		min_val=min(min_val,a[i]);//维护最小值
	}
	cout <<min_val;//输出最小值
	return 0;
}

区间和版

#include<iostream>
using namespace std;
int a[5000001];//原数组
int d[5000001];//差分数组
int sum[5000001];//前缀和数组
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		d[i]=a[i]-a[i-1];//构建差分数组
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];//构建前缀和数组
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op;
		cin>>op;//操作选择
		if(op==1){//区间修改
			int l,r,val;//区间范围和修改大小
			cin>>l>>r>>val;
			d[l]+=val;
			d[r+1]-=val;
		}else if(op==2){//区间查询
			int l,r;//区间范围l~r
			cin>>l>>r;
			//先还原数组
			for(int j=1;j<=n;j++){
				a[j]=a[j-1]+d[j];
				sum[j]=sum[j-1]+a[j];//更新前缀和
			}
			cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;//输出区间和
		}
	}
	return 0;
}

上例题↓

P2367 语文成绩

题目背景

语文考试结束了，成绩还是一如既往地有问题。

题目描述

语文老师总是写错成绩，所以当她修改成绩的时候，总是累得不行。她总是要一遍遍地给某些同学增加分数，又要注意最低分是多少。你能帮帮她吗？

输入格式

第一行有两个整数 $n$，$p$，代表学生数与增加分数的次数。

第二行有 $n$ 个数，$a_1\sim a_n$，代表各个学生的初始成绩。

接下来 $p$ 行，每行有三个数，$x$，$y$，$z$，代表给第 $x$ 个到第 $y$ 个学生每人增加 $z$ 分。

输出格式

输出仅一行，代表更改分数后，全班的最低分。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 2
1 1 1
1 2 1
2 3 1

输出 #1

2

说明/提示

对于 $40\%$ 的数据，有 $n\le 10^3$。

对于 $60\%$ 的数据，有 $n\le 10^4$。

对于 $80\%$ 的数据，有 $n\le 10^5$。

对于 $100\%$ 的数据，有 $n\le 5\times 10^6$，$p\le n$，学生初始成绩 $ \le 100$，$z \le 100$。

分析

分析后得知，题目的类型属于【最小值版】
参考上方模板
经典模板题，直接看输入要求
【$line1$】输入学生总数$n$与修改次数$p$
【$line2$】输入原本学生成绩
【之后$p$行】每行有3个数，分别是$x$,$y$,$z$,代表第$x$到第$y$个学生加$z$分

上代码

#include <iostream>
using namespace std;
int a[5000005];//原数组
int d[5000005];//差分数组
int main(){
	int n,p;
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];//输入初始值
        d[i]=a[i]-a[i-1];//构建差分数组
    }
    for(int i=1;i<=p;i++){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;//进行加分操作
        d[x]+=z;
        d[y+1]-=z;
    }
    int ans=2147483647;//设置最大值
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=a[i-1]+d[i];
        ans=min(ans,a[i]);
    }//得到最小值
    cout <<ans;
    return 0;
}

题单推荐

$题单$
题单有些特殊，里面包含差分、前缀和、离散化的相关内容
可以在里面直接找标签是【差分】的题目进行练习

~ $完结撒花$ ~

附：这一篇没什么想说的了
例题和题单均来自$洛谷$
推荐洛谷作为你的刷题区域
下一篇预告：前缀和