分治法实现合并排序（python）

南木Sir

已于 2022-11-27 10:03:53 修改

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分类专栏： Python 程序人生文章标签：算法 python

于 2022-10-12 14:13:09 首次发布

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本文介绍了一种经典的排序算法——合并排序，并详细阐述了其实现过程。首先通过递归将待排序数组拆分成较小的部分，然后对这些小部分进行排序，最后再合并起来形成完整的有序数组。该算法的时间复杂度为O(n log n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：

设计一个合并排序的算法？（分治法解）
计算其时间复杂度？(要求写出递推公式，及其求解过程)

代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Wed Oct 12 11:21:24 2022

@author: Dell
"""

def MergeSort(ary, begin, end) :
	if begin + 1 < end :     		 
		middle = (end + begin) / 2
		MergeSort(Array, begin, middle)   #归并前半个数组
		MergeSort(Array, middle, end)     #归并后半个数组
		Merge(Array, begin, middle, end)  #将两个数组合并
return -1

def Merge(ary, begin, middle, end) :
	n1 = middle - begin
	n2 = end - middle
	
	left =  [0 for i in range(n1)]
	right = [0 for i in range(n2)]
	
	for i in range(n1) :
		left[i] = ary[begin + i]    
	for i in range(n2) :
		right[i] = ary[middle + i] 
    i = 0
    j = 0
    key = 0
	for key in range(end) :
		if i < n1 and left[i] <= right[j] :
			ary[key] = left[i++]

		if j < n2 and left[i] >= right[j] :
			ary[key] = right[j++]
		
		if i == n1 and j < n2) :
			ary[key] = right[j++]
			
		if j == n2 and i < n1 :
			ary[key] = left[i++]

if __name__=='__main__':
    input_list = [3, 5, 8, 1, 4, 9, 12, 6, 7, 14]
    print('输入数组：', input_list)

	output_list = MergeSort(input_list, 0, 9)
 
	print('排序后数组：', output_list)

在这里插入图片描述

第一步，将待排序的元素序列一分为二，得到两个长度基本相同的子序列；
第二步，若子序列较长则继续重复以上一分为二的步骤，直至子序列的长度不大于1，对两个子序列分别排序；
第三步，将排好序的子序列合并成一个有序数列，直至所有子序列全部合并，实现函数即为MergeSort函数；

递推公式：

T(n) = 2T(n/2) + O(n)
= 2(2T(n/4)) + O(n/2) + O(n) = 4T(n/4) + 2O(n)
= 8T(n/8) + 3O(n)
…
= 2^xT(n/2^x) + x O(n)
这里如果令n = 2^x，则x=logn， T(n) = nT(1) + logn⁡O(n)
= n + logn⁡O(n)
= O(nlog⁡n)