最小生成树

最小生成树

在修建道路（或者铺设线路、管道）的时候，常常考虑的是如何既能够达到连通各个地点又能够使得所耗费的资源最少的问题。最好的办法就是把这些现实的问题抽象成图，比如把城市抽象成顶点（假设有n个），把城市之间的可能存在的道路抽象成边，从该图中寻找n-1条边，使得这n-1条边不仅能把这n个顶点连成一个连通图，并且他们所代表的路程之和最短。这样的连通图，形态上就是一棵树。求解这种耗费最少的问题，就转化成为求相应图的最小生成树的问题。
下面将介绍两种求最小生成树的方法：普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruscal）算法。 

1.Prim算法：

假设给出已知关系为：

Prim算法实现过程的思路：

 以此类推，不断更新，注意一点：更新时不能形成环，也就是说a-c-d-f后不能连接a，而是应该从a点重新开始找，直到形成n-1条边停止

找个例题分析一下：

还是畅通工程

某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。 

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。 
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。 

Output

对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。 

Sample Input

3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
4
1 2 1
1 3 4
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 4 5
0

Sample Output

3
5

prim代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f//定义一个无穷大的数//
int map[110][110]/*主函数中用来储存两点间的距离*/,vis[110]/*Prim函数中防止一个点到它本身*/,dis[110]/*Prim函数中储存距离的数组*/;
int n,t;
int u,v,w;
int prim()
{
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dis[i]=map[1][i];//记下1点到其他点的权值//
	dis[1]=0;
	vis[1]=1;//防止第一个点到它本身，造成错误// 
	for(int i=2;i<=n;i++)//因为第一个点已经定义出来了，所以从第二个开始// 
	{
		int temp=INF;
		int k=-1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j]&&temp>dis[j])//找出与第一个点距离最近的点// 
			{
				temp=dis[j];
				k=j;
			}
		}
		if(k!=-1) //如果上面存在满足条件的点，则更新vis防止到点本身//   
        {  
            vis[k]=1;  
            ans+=dis[k];  
        }
        //更新可选的值  
        for(int j=1;j<=n;j++)  
        {  
            if(!vis[j]&&map[k][j]<dis[j])  
            {  
                dis[j]=map[k][j];  
            }  
        }  
		
	}
	return ans;
}
int main()
{
	while (scanf("%d",&n),n)
	{
		t=n*(n-1)/2;
		memset(map,INF,sizeof(map));//意思是将数组map中所以得元素全部赋值为无穷大// 
		memset(dis,INF,sizeof(dis));//同上// 
		memset(vis,0,sizeof(vis));//意思是将数组vis中所以得元素全部赋值为0// 
		for(int i=1;i<=t;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			map[u][v]=map[v][u]=w;//两点之间的道路距离是相同的// 
			
		}
		printf("%d\n",prim());
	}
	return 0;
}

2.Kruskal算法：

Prim算法是利用点来实现。一个点一个点的加入，而kruskal算法是将边排序后，一条边一条边的放进来，到满足题意，详情如下：

以此类推，但不能形成回路（这也是代码中要实现的）

任然以上面这个题为例子，kruskal代码实现如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fa[10010];
int n,t;
struct edg
{
	int u,v,w;
}edgs[5000];//用来储存两个节点和一条边的长度//
bool cmp(edg a,edg b)
{
	return a.w<b.w;
}//将边的长度按从小到大的顺序排列// 
int find(int a)
{
	return (a==fa[a])?a:find(fa[a]);
}//找到莫一部分的树根// 
void andd(int x,int y)
{
	int f1=find(x);
	int f2=find(y);
	if(f1!=f2)
		fa[f1]=f2;
}//将两部分结合到一块，这种与并查集相似// 
int kruskal()
{
	sort(edgs,edgs+t,cmp);
	for(int i=0;i<=n;i++)
		fa[i]=i;//初始化// 
	int ans=0;//记录选中边的长度和// 
	for(int i=0;i<t;i++)
	{
			if(find(edgs[i].u)!=find(edgs[i].v)) 
			{
				andd(edgs[i].u,edgs[i].v);
				ans+=edgs[i].w;
			}
	
	}
	return ans;
}
int main()
{
	while (scanf("%d",&n),n)
	{
		t=n*(n-1)/2;
		for(int i=0;i<t;i++)
		{
			scanf("%d%d%d",&edgs[i].u,&edgs[i].v,&edgs[i].w);
		}
		printf("%d\n",kruskal());
	}
	return 0;
}

最小生成树练习

https://vjudge.net/contest/176047

愿你一生清澈明朗，做你愿做之事，爱你愿爱之人！