【计算机组成原理】数据的表示与运算

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正文

1. 数据表示基础

1.1 数制及其转换

• 常用数制：
  • 十进制（Decimal）：日常生活中最常用的数制，采用 0 - 9 十个数字符号来表示数，逢十进一。例如，数字 25 表示 2 个十和 5 个一，其基数为 10。
  • 二进制（Binary）：计算机内部采用的基本数制，只有 0 和 1 两个数字符号，逢二进一。例如，二进制数 101 表示 1 个四（2²）、0 个二（2¹）和 1 个一（2⁰），其基数为 2。
  • 八进制（Octal）：采用 0 - 7 八个数字符号，逢八进一，基数为 8。例如，八进制数 37 表示 3 个八（8¹）和 7 个一（8⁰）。
  • 十六进制（Hexadecimal）：使用 0 - 9 以及 A - F（分别表示 10 - 15）十六个符号来表示数，逢十六进一，基数为 16。例如，十六进制数 2A 表示 2 个十六（16¹）和 10 个一（16⁰）。
• 数制转换方法：
  • 十进制转二进制：常用的方法是除 2 取余法。例如，将十进制数 13 转换为二进制，过程如下：
    13 ÷ 2 = 6 …… 余 1
    6 ÷ 2 = 3 …… 余 0
    3 ÷ 2 = 1 …… 余 1
    1 ÷ 2 = 0 …… 余 1
    从下往上将余数排列可得二进制数 1101。
  • 二进制转十进制：采用位权展开法。例如，二进制数 1011 转换为十进制，计算为 (1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11)。
  • 二进制与八进制、十六进制的转换：二进制转八进制是每 3 位二进制数对应 1 位八进制数，从右往左分组转换。例如，二进制数 110101 可分为 011 和 0101，对应的八进制数为 35。二进制转十六进制则是每 4 位二进制数对应 1 位十六进制数，同样从右往左分组，如二进制数 1101101 可分为 0110 和 1101，对应的十六进制数为 6D。

1.2 数据的编码表示

• 原码：
  • 原码是一种简单直观的机器数表示法，最高位为符号位（0 表示正数，1 表示负数），其余位表示数值的绝对值。例如，对于 8 位二进制原码，+5 的原码表示为 00000101，-5 的原码表示为 10000101。
  • 原码的优点是简单易懂，缺点是在进行加减法运算时，需要单独处理符号位，运算规则相对复杂，并且会出现 +0 和 -0 有不同表示形式（在 8 位原码中，+0 表示为 00000000，-0 表示为 10000000）等问题。
• 反码：
  • 正数的反码与原码相同，负数的反码是在原码的基础上，除符号位外，其余各位按位取反。例如，8 位二进制中，+5 的反码是 00000101，-5 的反码是 11111010。
  • 反码在一定程度上为后续的补码运算做了铺垫，但同样存在 +0 和 -0 表示不同（+0 反码为 00000000，-0 反码为 11111111）等问题，运算时也不够简洁高效。
• 补码：
  • 正数的补码与原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 1。例如，在 8 位二进制下，+5 的补码是 00000101，-5 的补码是 11111011（先求 -5 的反码 11111010，再加 1 得到补码）。
  • 补码的优势在于可以将减法运算转化为加法运算，简化了计算机的运算电路设计，并且解决了 +0 和 -0 表示不一致的问题（在补码中，+0 和 -0 的补码都是 00000000），是计算机中最常用的有符号数表示方式。
• 移码：
  • 移码常用于表示浮点数的阶码，它是在补码的基础上，将符号位取反得到的。例如，对于 8 位二进制数，若补码为 10000000，则移码为 00000000。
  • 移码的特点是便于比较大小，并且可以直观地反映出数的大小顺序，常用于计算机中对浮点数阶码的处理等场景。

2. 定点数的表示与运算

2.1 定点数的表示

• 定点整数：
  • 小数点固定在数的最右边，即所有数位都表示整数部分。例如，在 8 位二进制定点整数表示中，如果约定最高位为符号位，那么能表示的数值范围是(-(2⁷) )到(2⁷ - 1)，即 -128 到 127。
  • 常用在一些只需要处理整数的应用场景中，比如计数器、学号编码等，计算机内部会按照相应的编码规则（如原码、补码等）来存储和处理这些定点整数。
• 定点小数：
  • 小数点固定在符号位之后，也就是最高位是符号位，后面的数位表示小数部分。例如，对于 8 位二进制定点小数，若按补码表示，能表示的数值范围有所不同，其绝对值最大的正数是 (0.1111111)（对应十进制的接近 1 的小数），绝对值最大的负数是(-0.0000001)等。
  • 常用于一些对精度要求不是特别高的小数处理场景，比如一些简单的比例系数、概率值等的表