[LUOGU] P2759 奇怪的函数

最新推荐文章于 2025-05-01 14:13:07 发布

Gh0stCai

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分类专栏：数学

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本文介绍了一种使用二分查找法来寻找使得x^x达到指定位数n的最小正整数x的方法。通过计算x^x的位数，利用对数性质，结合二分搜索技巧，最终找到满足条件的最小x值。

题目描述
使得 x^x x 
x
 达到或超过 n 位数字的最小正整数 x 是多少？

输入输出格式
输入格式：
一个正整数 n

输出格式：
使得 x^xx 
x
  达到 n 位数字的最小正整数 x

输入输出样例
输入样例#1： 复制
11
输出样例#1： 复制
10
说明
n<=2000000000

这么大肯定有规律。。嗯.

求数x的位数，常规做法是写一个函数求，但是这就要求得到这个具体的这个数，这里x^x太大，如果不用高精度，肯定是不行的。

考虑一个数x，求它的位数:
log10(1)=0;
log10(10)=1;
log10(100)=2;
每10倍函数值加1，且单调递增，所以，比如log10(5)≈0.699，就可以写出一个len函数
len=floor(log(x)+1);
先+1再floor而不用ceil,实测#7会WA，大概是类似log10(1)的问题。

再考虑求x^x的位数，log(x^x)=xlog(x)

有了判断函数，就不难写出一个二分答案的循环。

注意l=mid+1，否则会陷入死循环。

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll n;

ll len(ll x){
    return floor(x*log10(x)+1);
}

int main(){
    cin>>n;
    ll l=1,r=1<<30,mid,lenm;
    while(l<r){
        mid=(l+r)>>1;
        lenm=len(mid);
        if(lenm<n) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    cout<<l<<endl;
    return 0;
}