118. 杨辉三角

最新推荐文章于 2025-12-06 07:43:37 发布
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力扣icon-default.png?t=L9C2https://leetcode-cn.com/problems/pascals-triangle/

难度简单617

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示:

  • 1 <= numRows <= 30
class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        //ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i-1][j-1] 算法
        List<List<Integer>> ans = new ArrayList<List<Integer>>();
        for(int i=0;i<numRows;i++)
        {
            List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                if(j==0 || j==i) row.add(1);
                else
                {
                   row.add(ans.get(i-1).get(j-1)+ans.get(i-1).get(j));
                }
            }
            ans.add(row);
        }
        return ans;
    }
}

 

 

 

leetcode算法118.杨辉三角
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给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。【解析】稍微解释一下杨辉三角的定义，其实看动图就非常容易理解杨辉三角的定义了，任意一个数的值是它上一行紧挨着的左边和右边的数字的和，哎呀妈呀好绕…结合动图和我的文字理解一下吧！
【动态规划】Leetcode 118. 杨辉三角【简单】
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04-23 483
给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
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给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
118.杨辉三角
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题目描述 分析 数学法 利用杨辉三角的生成公式，数值等于其两肩数值之和。即可求解 /** * Return an array of arrays of size *returnSize. * The sizes of the arrays are returned as *returnColumnSizes array. * Note: Both returned array and *columnSizes array must be malloced, assume caller calls f
LeetCode_杨辉三角_简单_118.杨辉三角
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09-06 583
目录1.题目2.思路3.代码实现（Java） 1.题目 给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。 在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例 1: 输入: numRows = 5 输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]] 示例 2: 输入: numRows = 1 输出: [[1]] 提示: 1 <= numRows <= 30 来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetc
118. 杨辉三角（Java）
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给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
算法学习：LeetCode-118. 杨辉三角
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leetcode118. 杨辉三角，老题又做
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XYShaoKang#sk-js-algorithm#118.杨辉三角1
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118.杨辉三角* [118] 杨辉三角解法 1: 动态规划。
just1296#leetcode#118.杨辉三角1
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示例:输入: 5输出:链接：。List<I
LeetCode(python)——148.排序链表
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（1）找中点——快慢指针找中点，但需要注意！由于存在奇偶长度的链表，所以这个中点应该是正中或者偏左一个（否则会存在死循环）（让中点的next = None即可）2.按序合并（比大小即可）
Leetcode 68 搜索插入位置 | 寻找比目标字母大的最小字母
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12-04 1034
你的错误逻辑正确逻辑找到 target 时返回 mid-1找到 target 时，继续向右查找（因为需要「大于」target 的最小字符）target <letters [mid] 时，mid 是候选，需保留，right=mid（左闭右开）或不立即排除 mid循环结束直接返回 letters [0]循环结束后，先判断 left 是否越界：越界则返回 letters [0]，否则返回 letters [left]初始right的取值与「越界判断」不匹配；
LeetCode面试HOT100—— 206. 反转链表
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12-02 869
本文详细解析了反转单链表的迭代最优解（头插法）。该方法通过三个指针（pre、cur、nxt）实现，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。核心思路是将原链表节点逐个取出并插入新链表头部，最终返回pre指针指向的新链表头。文章通过逐行代码注释、分步演示（1→2→3→4→null示例）和关键细节分析，帮助读者彻底理解反转过程。特别强调了保存nxt指针的必要性和边界情况处理，总结为"保存下一个，反转当前，移动双指针"的操作口诀。
栈练习--------(LeetCode 739-每日温度)
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12-04 317
具体思路就是，首先定义两个栈，一个用来存放最终的答案，一个用来暂存需要比较元素的索引，第一步咱们将答案栈的所有值赋值为0，然后利用for循环的遍历，先将第一个元素，暂存入stc栈中，然后将温度数组中的后续元素与之比较，如若大于，则将两元素索引差传入答案栈，并且弹出stc栈的栈顶元素，否则将其传入stc栈中，紧接着进入下一层循环，再将stc栈的栈顶元素与后续元素进行比较，与前面重复相同的操作。能爆发出无限的潜能，但我现在还不能想像出来，但这个题目给了我一点启发，但我学到的不只有这些。
Leetcode 每日一题C 语言版 -- 45 jump game ii
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遍例当前位置~这个最远位置，得到一个更新后的最远位置p2。遍历到p1 时, 一定可以跳到p2, 将位置更新到p2。记录最远能跳到的位置，然后跳到这个位置p1。
LeetCode 热题 100——二叉树——二叉树的层序遍历&将有序数组转换为二叉搜索树
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12-02 785
给你二叉树的根节点 root ，返回其节点值的 层序遍历。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。示例 1：输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]输出：[[3],[9,20],[15,7]]示例 2：输入：root = [1]输出：[[1]]示例 3：输入：root = []输出：[]提示：树中节点数目在范围 [0, 2000] 内。
leetcod118.杨辉三角有几种解法
06-19
<think>我们正在分析LeetCode118题“杨辉三角”的多种解法，并分析每种解法的时间复杂度和空间复杂度（使用C++实现）。根据引用内容，我们已知：1.引用[1]指出时间复杂度为$O(numRows^2)$，空间复杂度为$O(n)$（但这里空间复杂度可能有误，因为杨辉三角需要存储整个二维数组，所以空间复杂度应该是$O(n^2)$）。2.引用[2][3][4]的代码实现都是使用二维数组，并明确时间和空间复杂度为$O(n^2)$（其中n是行数）。3.引用[5]是杨辉三角II（只返回第k行），但本题要求生成整个三角。题目要求：生成一个numRows行的杨辉三角。杨辉三角的性质：-第i行（从0开始）有i+1个数。-每行的第一个和最后一个数都是1。-对于中间的元素，满足：triangle[i][j]=triangle[i-1][j-1]+triangle[i-1][j]我们将介绍三种常见解法，并分析复杂度：解法一：动态规划（二维数组法）——即用户提供的代码-描述：使用二维数组存储每一行，按照杨辉三角的递推关系填充。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为需要填充$n$行，且第i行有$i$个元素（不包括首尾固定为1的元素，但整体操作次数为$\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（杨辉三角的所有元素）。解法二：动态规划（一维数组滚动更新）——优化空间复杂度-描述：我们注意到，计算第i行时，只需要第i-1行的数据。因此，我们可以只维护一个一维数组（上一行），然后不断更新当前行，并将当前行保存到结果中。-但是，由于题目要求返回整个杨辉三角（所有行），所以我们必须存储每一行，因此空间复杂度无法优化到$O(n)$以下（至少需要$O(n^2)$存储结果）。所以这种方法在空间复杂度上并没有优化（结果空间是必须的）。-注意：如果题目像119题（杨辉三角II）一样只要求返回第k行，那么我们可以用$O(k)$的空间完成。但本题要求返回所有行，所以空间复杂度必然为$O(n^2)$。解法三：数学公式法（组合数）-描述：杨辉三角的第i行第j列（行列均从0开始）的值为组合数$C(i,j)$。因此，我们可以直接计算每个位置的值。-公式：$C(i,j)=\frac{i!}{j!\cdot(i-j)!}$，但是直接计算阶乘可能会导致溢出，而且计算阶乘的时间复杂度较高。-优化计算：我们可以用递推关系计算组合数：$C(i,j)=C(i,j-1)\times(i-j+1)/j$，这样避免阶乘。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为要计算$n$行，每行最多$n$个元素，每个元素需要常数时间计算（递推关系）。-空间复杂度：$O(n^2)$（存储整个结果）。但是，解法三在实现时需要注意：-由于整数除法可能产生小数，但组合数一定是整数。因此，在递推计算中，我们可以保证整除（因为每一步都是整数乘法再除以整数，且能整除）。-然而，在C++中，整数除法在整除时是安全的，但要注意乘法可能溢出（使用`int`可能不够，但题目没有指定范围，通常numRows较小，如不超过30，则不会溢出）。然而，引用[2][3][4]都采用了二维数组的动态规划方法，这是最常见且易于理解的。因此，我们总结：-解法一（二维数组动态规划）是最直接的方法。-解法二（滚动数组）在本题中并不能降低空间复杂度（因为需要返回所有行），但在只要求输出一行时有效（如119题）。-解法三（组合数）在数学上直接，但实际实现可能不如动态规划简单，且可能有溢出问题。所以，在LeetCode118题中，通常采用解法一。现在，我们分析用户提供的代码（即解法一）：-代码逻辑：vector<vector<int>>res(numRows);//创建有numRows行的二维vectorfor(inti=0;i<numRows;i++){res[i].resize(i+1,0);//每行调整大小为i+1，并初始化为0res[i][0]=res[i][i]=1;//首尾置1}for(inti=2;i<numRows;i++){//从第三行（下标2）开始for(intj=1;j<i;j++){res[i][j]=res[i-1][j-1]+res[i-1][j];//递推关系}}-时间复杂度：$O(n^2)$。外层循环执行了$n-2$次（从2到n-1），内层循环对于第i行执行了$i-1$次。所以总操作次数为$\sum_{i=2}^{n-1}(i-1)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}\inO(n^2)$。另外，初始化部分循环了$n$行，每行初始化时间为$O(i)$（resize操作），初始化总时间也是$O(n^2)$。因此整体是$O(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（结果），数组总元素数为$\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。引用[1]中提到的空间复杂度为$O(n)$，这可能是错误的，因为结果需要$O(n^2)$空间。除非引用[1]只计算了额外辅助空间（但题目要求返回结果，结果空间通常计入空间复杂度），所以这里我们认为是$O(n^2)$。引用[4]明确指出时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。因此，用户提供的代码的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$。下面我们给出三种解法的C++代码示例（但注意解法二在本题中空间复杂度无法优化，所以我们只给出解法和分析，代码实现与解法一类似，因为必须存储每一行）。解法一：动态规划（二维数组）——用户代码，已给出解法二：动态规划（滚动数组，但用于生成每一行）——注意，由于需要保存每一行，所以空间复杂度不变，但可以节省中间计算时的额外空间（实际上解法一也不需要额外空间，因为直接使用上一行已经计算好的结果）。所以解法二的代码与解法一几乎一样，只是内层循环从后往前计算可以避免覆盖，但本题中我们不需要覆盖，因为要保存所有行。所以解法二在本题中不适用（或者没有优势）。解法三：组合数（递推计算）-代码示例：vector<vector<int>>generate(intnumRows){vector<vector<int>>res;for(inti=0;i<numRows;i++){vector<int>row(i+1);row[0]=1;//第一个元素为1//利用组合数递推关系：C(i,j)=C(i,j-1)*(i-j+1)/jfor(intj=1;j<=i;j++){//注意：这里用乘法递推，注意顺序和整数除法row[j]=(long)row[j-1]*(i-j+1)/j;}res.push_back(row);}returnres;}-注意：乘法可能会溢出，所以我们使用`long`转换。但题目中numRows一般不会太大（比如不超过30），所以不会溢出。-复杂度：同样$O(n^2)$时间和$O(n^2)$空间。总结：LeetCode118题主要有两种有效解法：动态规划（递推）和组合数法，时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。相关问题：1.如果只需要返回杨辉三角的第k行（LeetCode119题），如何优化空间复杂度到$O(k)$？2.杨辉三角在组合数学中有哪些应用？例如，如何利用杨辉三角计算二项式展开的系数？3.杨辉三角与斐波那契数列之间有什么联系？</think>### LeetCode 118 杨辉三角：解法、时间与空间复杂度分析（C++） #### 一、题目要求 生成 `numRows` 行的杨辉三角，每个数是其左上方和右上方数的和。 示例： 输入：`numRows = 5` 输出： ``` [[1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1]] ``` --- #### 二、三种解法及复杂度分析 ##### 解法一：动态规划（二维数组）— **最优推荐** ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res(numRows); for (int i = 0; i < numRows; i++) { res[i].resize(i + 1, 0); // 初始化当前行 res[i][0] = res[i][i] = 1; // 边界置1 for (int j = 1; j < i; j++) { // 填充中间元素 res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j]; } } return res; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^2)$ 需要填充 $\sum_{i=0}^{n-1} (i+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ 个元素，属于平方级增长[^4]。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$ 存储整个杨辉三角，元素总数 $\frac{n(n+1)}{2}$[^3]。 ##### 解法二：组合数公式（数学法） ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { vector<vector<int>> res; for (int i = 0; i < numRows; i++) { vector<int> row; for (int j = 0; j <= i; j++) { row.push_back(combination(i, j)); // 计算组合数C(i,j) } res.push_back(row); } return res; } private: int combination(int n, int k) { long res = 1; // 避免乘法溢出 for (int i = 1; i <= k; i++) { res = res * (n - i + 1) / i; // 递推公式 } return (int)res; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^3)$ 计算每个元素 $C(i,j)$ 需 $O(j)$ 时间，总操作数 $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i} j = O(n^3)$。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果）。 ##### 解法三：递归（不推荐） ```cpp class Solution { public: vector<vector<int>> generate(int numRows) { if (numRows == 1) return {{1}}; vector<vector<int>> prev = generate(numRows - 1); vector<int> newRow(numRows, 1); for (int j = 1; j < numRows - 1; j++) { newRow[j] = prev.back()[j - 1] + prev.back()[j]; } prev.push_back(newRow); return prev; } }; ``` - **时间复杂度**：$O(n^2)$ 递归深度 $O(n)$，每层计算量 $O(n)$。 - **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果 + 递归栈 $O(n)$）。 --- #### 三、复杂度对比总结 | 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |--------------|------------|------------|------------------| | 动态规划 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 最优解，代码简洁 | | 组合数公式 | $O(n^3)$ | $O(n^2)$ | 数学理论验证 | | 递归 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 教学演示 | > **推荐解法**：动态规划（解法一）是标准解法，时间/空间复杂度已达理论最优[^4]。 --- #### 四、杨辉三角的性质与应用 1. **性质**： - 第 $n$ 行第 $k$ 个元素为组合数 $C(n,k)$[^2]。 - 对称性：$C(n,k) = C(n, n-k)$。 2. **应用**： - 计算二项式展开系数：$(a+b)^n$ 的系数即第 $n$ 行[^2]。 - 概率论：二项分布的概率计算。 ---
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