计算机系统基础知识_数据表示方式

概述

计算机中不管是任何形式的数据最终都表示为二进制数，也即只有0和1组成的数，又称为机器数。

为了便于表示和计算各类型的数值，又约定了有如有符号数、无符号数、各种码制等。

一般而言，机器数分为有符号数和无符号数。

有符号数，最高位表示的是正/负，其他位用于表示数值，无符号数仅表示正数。它们又有两种约定，一种是表示纯小数，另一种是表示纯整数，前者约定小数点位于最高位之前，后者约定小数点位于最高位之后，但计算机中并不真正的保存小数点，都是人为约定的。

而对于含小数的整数，则使用定点数和浮点数来表示。

本文的介绍将假定你具备二进制与十进制的转换及其运算规则，如果对进制转换不熟悉可以去看该文：数各进制间的转换。

机器数的表示

对于无符号数而言，运算相对简单，但有符号数则有点不同，为了便于运算实现，有符号数又可以采用原码、反码、补码和移码等不同码制的编码方式。有符号数最高位仅表示正负，一般地 0表示正，1表示负。 下面假定机器字长表示为n，均为8位。

原码

原码表示法，即数值被转换为二进制值的原始值。

若X是纯整数，则其定义：
$$X_{原}=\{\begin{array}{ll}X& 0\le X\le 2^{n-1}-1\\ 2^{n-1}+|X|& -(2^{n-1}-1)\le X\le 0\end{array}$$
若X是纯小数，则其定义：
$$X_{原}=\{\begin{array}{ll}X& 0\le X<1\\ 2^0+|X|& -1<X\le 0\end{array}$$
下面是一些示例（其中小数点就是约定小数点的位置）：
$$\begin{gathered} +1_{原}=00000001-1_{原}=10000000 \\ +127_{原}=01111111-127_{原}=11111111 \\ +28_{原}=00011100-28_{原}=10011100 \\ +0.5_{原}=0.1000000-0.5_{原}=1.1000000 \end{gathered}$$

反码

反码十分简单，它既是在原码不改变符号位的基础上，对原码的正数不做任何改变，而对负数的每一位取反。

下面是一些示例：
$$\begin{gathered} +1_{反}=00000001-1_{反}=11111110 \\ +127_{反}=01111111-127_{反}=10000000 \\ +28_{反}=00011100-28_{反}=11100011 \\ +0.5_{反}=0.1000000-0.5_{反}=1.0111111 \end{gathered}$$
一个特殊的情况是，0的反码有两种形式$0_{反}=0000000=11111111$。

补码

补码的正数和反码原码一致，但不同的是，它对负数的表示是在反码的基础上加1。

下面是一些示例：
$$\begin{gathered} +1_{补}=00000001-1_{补}=11111111 \\ +127_{补}=01111111-127_{补}=10000001 \\ +28_{补}=00011100-28_{补}=11100100 \\ +0.5_{补}=0.1000000-0.5_{补}=1.1000000 \end{gathered}$$
这样一来，补码的0就存在唯一的表示值$0_{补}=00000000$。

移码

移码即是在数X的基础上，加一个偏移量来表示，一般是用于浮点数的阶码。它有点特殊，所以看看它的定义，规定偏移量为$2^{n-1}$ ：

若X是纯整数则其定义：
$$X_{移}=2^{n-1}+X-2^{n-1}\le X<2^{n-1}$$
若X是纯小数则其定义：
$$X_{补}=1+X-1\le X<1$$
下面是一些示例：
$$\begin{gathered} +1_{移}=10000001-1_{移}=01111111 \\ +127_{移}=11111111-127_{移}=00000001 \\ +28_{移}=10011100-28_{移}=01100100 \\ +0_{移}=10000000-0_{移}=10000000 \end{gathered}$$
在偏移量为$2^{n-1}$的情况下，其实移码只需要将补码的符号位取反即可。

定点数和浮点数

数在计算机中有两种表现形式，一种是约定小数点的位置不变，称之为定点数，另一种的位置不固定，又叫做浮点数。

定点数

小数点位置不变的数就是定点数，前面提到的纯小数或纯整数的表现方式都是定点数，它们都是约定小数点在最高有效数值位之前或最低有效数之后。

如机器字长为n，各种码制下带符号数的表示范围如下：

码制	定点整数	定点小数
原码	$-(2^{n-1}-1)$ ~ $+(2^{n-1}-1)$	$-(1-2^{-(n-1)})$ ~ $+(1-2^{-(n-1)})$
反码	$-(2^{n-1}-1)$ ~ $+(2^{n-1}-1)$	$-(1-2^{-(n-1)})$ ~ $+(1-2^{-(n-1)})$
补码	$-2^{n-1}$ ~ $+(2^{n-1}-1)$	$-1$ ~ $+(1-2^{-(n-1)})$
移码	$-2^{n-1}$ ~ $+(2^{n-1}-1)$	$-1$ ~ $+(1-2^{-(n-1)})$

可以看见，定点数的补码和移码都能表示$2^n$个数，而原码和反码由于0占用了两个编码所以仅能表示$2^n-1$个数。

浮点数

小数点位置不固定的数就是浮点数，它的思想是基于在十进制中一个数可以写成很多表现形式的原理。

例如83.125可以写成$10^3\times 0.083125$或$10^4\times 0.0083125$等，同理，一个二进制数也可以写成多种表现形式，如二进制数1011.10101可以写成$2^4\times 0.101110101$、$2^5\times 0.0101110101$、$2^6\times 0.00101110101$等。很明显一个数的浮点形式的表示并不是唯一的，当小数点位置变化时，阶码也可以相应的改变，因此可以用多个浮点形式来表达同一个数。

由此得出规律，一个二进制数N可以表示为$N=2^E\times F$，其中E被称为阶码，F称为尾数。用阶码和尾数来表示的数就被称为浮点数，这种表示法又叫做浮点表示法。

在浮点表示法中，阶码为带符号的整数，尾数为带符号的纯小数。其格式如下：

浮点数的表示范围主要由阶码决定，其精度则由尾数决定，为了充分利用尾数，通常将尾数的绝对值限定在$[0.5,1]$区间。当尾数用补码表示时有以下两点注意：

1. 若尾数 M ≥ 0，则规格化尾数形式为$M=0.1......{.}_{(2)}$

   即其区间在$[0.5,1]$

2. 若尾数 M < 0，则规格化尾数形式为$M=1.0......{.}_{(2)}$

   即其区间在$[-1,-0.5]$

上面提到的尾数形式都是二进制的开头。

如果浮点数的阶码（包括1位阶符）用R位移码表示，尾数（包括1位数符）用M位的补码表示，则这种浮点数的表示的最大正数：$+(1-2^{-M+1})\times 2^{2^{R-1}-1}$；最小负数：$-1\times 2^{2^{R-1}-1}$。

IEEE 754 浮点数标准

从上面就可以知道浮点数有很多种实现的方法，但现行浮点数最主要的标准就是IEEE 754。

其表示形式为：$(-1{)}^S\times 2^E(b_0{b}_1{b}_2\dots b_{p-1})$，其中：

1. $(-1{)}^S$为该浮点数的数符，当S为0是表示正，反之则为负数；
2. E为指数（阶码），它用移码表示；
3. $2^E(b_0{b}_1{b}_2\dots b_{p-1})$为尾数，长度为P位，用原码表示；

目前，计算机中主要用三种形式的浮点数：

参数	单精度浮点数	双精度浮点数	扩充精度浮点数
浮点数字长	32	64	80
尾数长度P	23	52	64
符号位S	1	1	1
指数长度E	8	11	15
指数范围	-126 ~ 127	-1022 ~ 1023	-16382 ~ 16383
指数偏移量	+127	+1023	+16383
可表示范围	$10^{-38}$ ~ $10^{38}$	$10^{-308}$ ~ $10^{308}$	$10^{-4932}$ ~ $10^{4932}$

而编码值也分为三种不同情况：

1. 规格化的值

   当阶码不是全0或全1时，代表这就是一个规格化的值。如在单精度下：

   阶码为1011 0011时，偏移量为127(0111 1111)，则其表示的真值为1011 0011-01111111=0011 0100，十进制即52.

   尾数部分约定小数点左边隐含有一位1，即尾数为**1.**开头（但实际上并不存在，只是一种约定），因此单精度浮点数有效位数为24位，不溢出情况下尾数值范围为：$1\le M<2$，该约定是一种获得额外精度的技巧。

   如：$b_0{b}_1\dots b_{22}=01001001100010001001011$时，其对应的尾数为：$1+2^{-2}+2^{-5}+2^{-8}+2^{-9}+2^{-13}+2^{-17}+2^{-20}+2^{-22}+2^{-23}$ = 1.28724038600921630859375。

2. 非规格化的值

   当阶码全0时，代表这是一个非规格化值，在这种情况下，指数的真值是1-偏移量(单精度为-126，双精度为-1022)，尾数的值就是二进制的小数，不包含隐含的1。

   非规格化的值主要用于表示0，或非常接近0的值。因为规格化包含隐含的1，无法表示0。

   实际上0.0的浮点表示是除了符号位以外全0，但-0.0则是符号位为1以外全0，也就是说说浮点数下±0.0在表示上是有不同的。

3. 特殊值

   当阶码全1时，表示特殊值。

   尾数部分全0时就表示无穷大，符号位用于表示正无穷或负无穷，在运算时溢出就会用无穷来表示。

   尾数部分不全为0时表示"NaN, Not a Number"，即不是一个数。在运算时结果不是实数或者无穷就会用NaN来表示。

示例

下面示范如何用IEEE 754标准将176.0625表示为单精度浮点数：

先将十进制转换为二进制：

$(176.0625{)}_{10}=(10110000.0001{)}_2$

然后对数进行规格化处理（即尾数小数点左边隐含一位1的表示形式，并满足尾数占23位长度的规定）：

$(10110000.0001{)}_2=(1.01100000001000000000000\times 2^7{)}_2$

然后求阶码，标准规定阶码以移码方式表示，单精度浮点数规定偏移量127，即：

7(指数)+127(偏移量) = $(134{)}_{10}=(10000110{)}_2$

最后，拼接起来即可得到$(176.0625{)}_{10}$的单精度浮点数二进制：

符号位 S	阶码 E	尾数 P
0	10000110	01100000001000000000000

浮点数运算

设有浮点数$X=M\times 2^j,Y=N\times 2^j$，求X±Y的运算过程要经过如下步骤：

1. 对阶

   使两个数的阶码相同，令$K=|i-j|$，把阶码小的数的尾数右移K位，使其阶码加上K。

2. 求尾数和(差)

   尾数相加/相减

3. 结果规格化，判断是否溢出

   如果运算结果非规格化值，则规格化。当尾数溢出则调整阶码。

4. 舍入处理

   对结果向右规格化时，尾数的最低位将被丢弃。另外，对阶也可能出现右移导致丢失低位。舍入是为了求出最低的运算误差。

5. 溢出判别

   以阶码为准，若阶码溢出，则运算结果溢出；若阶码小于最小值，则结果为0；否则结果正确。

而相乘则是乘数的阶码相加，尾数相乘；相除则是被除数减去除数阶码作为商的阶码，商的尾数等于被除数尾数除以除数；

同样的，乘除运算都要进行规格化处理并判断是否溢出。