差错控制技术

概述

现实环境中，数据的传输很有可能受到干扰而出现错误，为了确保数据传递的正确，就需要有差错控制技术。要实现差错控制，就要具备两种能力，其一是发现错误，其二是纠正错误。

在数据链路层里常用的数据校验方法有奇偶校验码(PCC, Parity Check Code)和循环冗余校验(CRC, Cyclic Redundancy Check)，这些都统称为检错码(Error-detecting code)。

而差错纠正方面针对不同类型的传输有不同实现，如字符的异步传输一般采用反馈检测法，即接收一帧往源发回一帧，发送端如果判断出错则重发一帧，对应的还有自动重发法等等。

也有一些具有纠错功能的编码，它们又称为纠错码(Error-Correcting Code)或前向纠错码(Forward Error Correction)，**海明码(Hamming Code)**就是纠错码。

下面详细看看各种差错控制方法。

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检错码(Error-detecting Code)

奇偶校验码(Parity Check Code)

奇偶校验码是非常广泛使用的一种检错方法，它具有实现简单的优势。它有效用于检测单个错误，基本思想就是在原信息码最后加一位校验位，使得整个编码始终为奇数位或者偶数位（一般为编码中1的个数），这就是奇校验和偶校验。

从这个原理也可以看出来，奇偶校验无法判断大于一个的错误，所以就校验码一般用于错误率低的环境。

假设要传输7位二进制码1011010，要做偶校验，那么其最终传输的编码就是10110100。如果目的地收到的编码最终不为偶数，那么就知道里面一定出现了错误，注意，不能说最终编码是偶数就一定没有错误，这也就是奇偶校验的局限所在。

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循环冗余校验(Cyclic Redundancy Check)

再考虑CRC之前得先简单了解一下模2运算和多项式表示二进制码串。

模2运算

模2运算和普通算术运算最主要的不同在于模2无进位，也无借位。

加法规则为：1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0

减法规则为：1-1=0、1-0=1、0-1=1、0-0=0

很容易可以看出来实际上就是异或运算。

但乘法和一般运算一致，不同的是，多位数乘法中间结果相加用的是模2加法。

乘法和除法示例如下：

图片来自《深入理解计算机网络》

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码多项式（多项方式）

其表达方式和二进制转十进制是类似的，如有二进制串10011100，那么它的码多项式表述如下：
$$x^7+x^4+x^3+x^2$$
注意发现它与二进制转十进制的规律，不再赘述。

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CRC流程

CRC的原理看起来有点复杂，但实际上就是在待发送数据后面加一段校验码，接收方通过模2除法来发现是否出现了位变动（因为基于模2运算的特性，任一位变动都会影响结果），它的具体实现有如下步骤：

1. 选择一个用于进行模2除法的除数供接收方使用，一般使用码多项式表达，所以CRC又称多项式编码法。
2. 设选定除数的二进制位数为k，待发送的数据帧位数为m。在m后面加上k-1位0为新的帧，然后将该新帧模2除选定的除数，所得的余数就是该帧的CRC校验码，又称FCS（帧校验序列）。要注意的是，余数的位数也一定为k-1位，0也不能忽略。
3. 将该FCS附加在原数据帧后面，构建成一个新帧发送到接收端。
4. 接收端将附加了FCS的帧模2除之前定出的除数，无余数则表明无差错。

从该流程就可以看出，CRC的关键有二：预先确定双方用于CRC的除数、通过原始帧与除数计算出FCS。其中前者可以随机选择，也可以使用国际上通行的标准。但要注意，除数的最高位和最低位必须为1。

国际上的标准有如：

IBM的SDLC规程使用CRC-16，它规定除数为：
$$\begin{gathered} x^{16}+x^{15}+x^2+1 \\ 它所对应的二进制串为：11000000000000101 \end{gathered}$$
ISO的HDLC、ITU的SDLC、X.25等等规程中使用CCITT-CRC-16，它规定除数为：
$$\begin{gathered} x^{16}+x^{15}+x^5+1 \\ 它所对应的二进制串为：11000000000100001 \end{gathered}$$

计算示例

设CRC除数码多项式（又叫生成多项式）为$$G(x)=x^4+x^3+1$$，要求出二进制序列10110011的FCS，下面是计算过程：

1. 生成多项式转换为二进制串：11001
2. 给原数据帧加上k-1个0，这里生成多项式为5位，因此加4位0，得到数据帧10110011 0000。
3. 对得到的数据帧使用模2除法除以生成多项式，得到余数0100（注意，余数一定是k-1位，0也不能忽略）
4. 用第3步的结果和原数据帧组合成新的数据帧10110011 0100发送给接收方。
5. 接收到数据帧后用模2除法除以选定的生成多项式，如余数为0则无差错，否则则有差错。

纠错(Error-correcting)

纠错有编码纠错以及方法纠错两种，编码纠错常见的有海明码，这类有纠错能力的编码又叫做纠错码(Error-correcting Code)。纠错方法有反馈检测法等。下面详细讲讲这两种方式。

反馈检测法

这是一种实施容易，但不常用的差错控制法，这种方法的信道利用率低。它的基本原理是，接收端收到的所有内容都回传至发送端，如果发送端收到后发现错误则重传错误的帧。

这种基础的方式也会遇到问题，如整个帧全都丢失了，这样发送方自然就无法接收到任何反馈，因为对方根本没有收到。为了避免这种情况，通常引入一个计时器来为每个帧限定反馈信息的时间，如果超时仍然没有收到，则认为传输出了差错，直接重传该帧。有时候因为网络延迟导致接收端可能收到多次同一数据帧，为了防止这种现象，数据链路层有一种帧序列号的方法来对每个帧编号，接收端可以通过判断帧编号来甄别这种现象。

海明码(Hamming Code)

海明码是一个有多个校验位，具有检测并纠正一位错误的纠错码，因为它只能纠正一位错误，所以一般只能用于信道条件比较好的环境中。

它的基本思想是将有效信息按规律分组，使的校验码不仅可以发现错误，还能知道错误发生的位，最终将错误的位取反即纠正成功。

基本上是通过对不一样的分组进行奇偶校验，最终比对多组的结果即可锁定出错的位，因为这个原理导致海明码只能发现并纠错一位。

它的原理有点类似于一个数学游戏叫做国王与毒酒。

细节比较繁琐，在这篇文章中详细说明了：计算机系统基础知识_校验码。