线段树（Segment Tree）

线段树用于维护区间信息（要求满足结合律）。与树状数组相比，它可以实现$O(\mathbf{log}n)$的区间修改，还同时支持加、乘操作，更具有通用性。

在最后给出动态开点的线段树。

线段树的建立

线段树是一颗平衡二叉树，母结点代表整个区间的和，越往下区间越小。线段树的每个结点对应一条线段，但并不保证所有的线段都是线段的结点。

每个结点$p$的左右节点编号分别为$2p$和$2p+1$，如果节点$p$储存区间$[a,b]$的和，那么子节点分别存储$[a,mid]$和$[mid+1,r]$，其中$mid=\lfloor \frac{a+b}{2}\rfloor$。

左节点对应的区间长度与右节点数相同或者比之恰好多1。

区间修改

线段树能够实现高效的区间修改是由于其引入了一个懒标记/延迟标记。懒标记的存在使区间修改不再继续递归下去，而去打上一个懒标记，将来要用到他的子区间时，再向下传递。

懒标记如其名，只有要用到子区间时它的子区间才会在向下传递一层（你推他一下他走一步的感觉）。

在进行区间修改时，从最大的区间开始，递归向下处理。递归过程中，记当前节点为$node$，当前区间为$[cl,cr]$，目标区间为$[l,r]$，我们会遇到三种情况：

1. 当前区间于目标区间无交集，此时递归结束。
2. 当前区间在目标区间之中，此时更新当前区间，并打上懒标记（此前可能存在标记），递归结束。
3. 当前区间与目标区间相交但并不包含在目标之中，将区间进行二分操作，并把懒标记传递给两个子区间（此时可能存在之前的标记），清空当前区间的懒标记，最后继续递归两个子区间。

区间查询

我们此处以查询区间的最大值为例，在递归查询过程中，记当前节点为$node$，当前区间为$[cl,cr]$，目标区间$[l,r]$，我们会遇到三种情况：

1. 当前区间与目标区间无交集，此时递归结束，并返回0。
2. 当前区间在目标区间之中，此时递归结束，并返回当前区间的值。
3. 当前区间与目标区间相交但并不包含在目标之中，此时再递归的向下进行查询，最后将两个区间中的最大值返回。

代码示例

以Leetcode 731. 我的日程安排表 II为例，使用动态指针实现的动态开点的代码为：

class MyCalendarTwo {

    class Node {
        int val, add;
        Node l, r;
    }

    int N = (int) 1e9 + 1;
    Node root;

    public MyCalendarTwo() {
        root = new Node();
    }

    public void update(Node node, int cl, int cr, int l, int r) {
        if (l <= cl && cr <= r) {
            node.add += 1;
            node.val += 1;
            return;
        }
        pushdown(node);
        int m = cl + cr >> 1;
        if (l <= m) update(node.l, cl, m, l, r);
        if (r > m) update(node.r, m + 1, cr, l, r);
        pushup(node);
    }

    public void pushdown(Node node) {
        if (node.l == null) node.l = new Node();
        if (node.r == null) node.r = new Node();
        node.l.add += node.add;
        node.l.val += node.add;
        node.r.add += node.add;
        node.r.val += node.add;
        node.add = 0;
    }

    public void pushup(Node node) {
        node.val = Math.max(node.l.val, node.r.val);
    }

    public boolean query(Node node, int cl, int cr, int l, int r) {
        if (l <= cl && cr <= r) return node.val < 2;
        pushdown(node);
        int m = cl + cr >> 1;
        if (l <= m && !query(node.l, cl, m, l, r)) return false;
        if (r > m && !query(node.r, m + 1, cr, l, r)) return false;
        return true;
    }

    public boolean book(int start, int end) {
        boolean ans = query(root, 0, N, start, end - 1);
        if (ans) update(root, 0, N, start, end - 1);
        return ans;
    }
}

递归过程：

题目链接

1. 699. 掉落的方块
2. 731. 我的日程安排表 II
3. 732. 我的日程安排表 III
4. 2276. 统计区间中的整数数目

参考文献：

1. 算法学习笔记(14): 线段树
2. 【宫水三叶】线段树（动态开点）的两种方式