[题解]完全平方数

原创于 2019-07-11 22:19:35 发布 · 515 阅读

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#数学 #容斥原理

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博客围绕完全平方数问题展开，小X讨厌完全平方数及其正整数倍的数，小W送第K个小X不讨厌的数作礼物后忘记该数。题目要求根据输入的多组测试数据，输出相应第Ki个不是完全平方数正整数倍的数，分析中利用容斥原理和二分答案求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

完全平方数

题目描述

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？
输入输出格式
输入格式：

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

输出格式：

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

分析

题目大意为求把数字n分解后 $n=∑i=1rpiki\begin{aligned}n=\sum_{i=1}^{r}{p_i^{k_i}} \end{aligned}$ 其中 $k_i=1$ 的这样的第k个数
那么我们发现 $μ2(i)\begin{aligned}\mu^2(i)\end{aligned}$ 即表示i是否为完全平方数。设 $M(n)=∑i=1nμ2(i)\begin{aligned}M(n)=\sum_{i=1}^n{\mu^2(i)}\end{aligned}$ ,那么题目即转化为求最小的一个h，使得 $M (h) = k$ 。
由此我们考虑二分答案。
利用容斥原理，显然 $M (m i d)$ ={≤mid的所有数}−{≤mid的所有质数的平方的倍数}+{≤mid的所有两个质数的积的平方的倍数}−{≤mid的所有三个质数的积的平方的倍数}}…

根据莫比乌斯函数的性质，我们得到 $M(h)=∑i=1i≤nμ(i)⌊ni2⌋M(h)=\begin{aligned}\sum_{i=1}^{i≤\sqrt{n}}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i^2}\rfloor\end{aligned}$

代码:

/*******************************
Author:galaxy yr
LANG:C++
Created Time:2019年07月10日 星期三 20时36分59秒
*******************************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int mu[maxn],prime[maxn],tot,T,n;
bool used[maxn];
void euler_sieve()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!used[i]) { prime[++tot]=i; mu[i]=-1; }
        for(int j=1;j<=tot and prime[j]*i<maxn;j++)
        {
            used[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
long long find(long long x)
{
    long long ans=0;
    for(int i=1;1ll*i*i<=x;i++)
        ans+=mu[i]*(x/(i*i));
    return ans;
}
void solve(long long x)
{
    long long l=1,r=x<<1,ans=0,mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(find(mid)<x)l=mid+1;
        else ans=mid,r=mid-1;
    }
    cout<<ans<<endl;
} 
int main()
{
        euler_sieve();
        cin>>T;
        while(T--)
        {
            cin>>n;
            solve(n);
        }
        return 0;
}