[2017.11.25]verlauf

虽然我只过了95分但是还要写个题解，说不定什么时候RP好就A了，O(∩_∩)O哈哈~。

题面

一个神奇的复数 $r = \frac{-1+\sqrt{7} i}{2}$，其中 i 是虚数单位 $i^2 = −1$。 对于任意整数x 和 y，
我们都可以找到⼀个有限的整数集合 S 使得

$$x + y \sqrt{7} i = \sum_{k \in S}{r^k}$$

换句话说，我们将 x + y √7 i 转换为 r 进制，每位上是 0 或者 1。其中为 1的位置的集合记做 S 。
输入x 和y，从小到大输出集合 S 中的元素，可以证明 S 是唯一的。 集合中不能包含相同元素。

输入格式

一行两个整数表示 x, y。

输出格式

一行一个数组表示集合 S ，从小到大输出。

样例输入

7 1

样例输出

2 3 4 5 6 7

数据范围与提示

对于 100% 的数据，满足 $|x|, |y| \leq 10^{18}$。

对于 50% 的数据，满足 $y = 0$。

对于 50% 的数据，满足 $|x|, |y| \leq 10^2$。

以上两部分数据相交 25%。

思路

找规律，打一个$r^k$的表，写个程序试试。

程序如下：

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<complex>
using namespace std;
typedef complex<double> cd;

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

const cd r=cd(-1.0,sqrt(7.0))/2.0;

int main(){
    cd rk(1,0);
    for(int i=0;i<=15;i++){
        printf("%5d:  ",i);
        printf("(%g + %g sqrt(7))/2\n",rk.real()*2,rk.imag()*2.0/sqrt(7.0));
        rk*=r;
    }
    return 0;
}

运行结果：

    0:  (2 + 0 sqrt(7))/2
    1:  (-1 + 1 sqrt(7))/2
    2:  (-3 + -1 sqrt(7))/2
    3:  (5 + -1 sqrt(7))/2
    4:  (1 + 3 sqrt(7))/2
    5:  (-11 + -1 sqrt(7))/2
    6:  (9 + -5 sqrt(7))/2
    7:  (13 + 7 sqrt(7))/2
    8:  (-31 + 3 sqrt(7))/2
    9:  (5 + -17 sqrt(7))/2
   10:  (57 + 11 sqrt(7))/2
   11:  (-67 + 23 sqrt(7))/2
   12:  (-47 + -45 sqrt(7))/2
   13:  (181 + -1 sqrt(7))/2
   14:  (-87 + 91 sqrt(7))/2
   15:  (-275 + -89 sqrt(7))/2

惊奇的发现：当$r^k$ 被表示成 $\frac{a+b \sqrt{7} i}{2}$ 时，其中的$a$ 与$b$ 的和一定是四的倍数，不妨用归纳法证明一下。

定义命题$P(x)$ 表示$r^x = \frac{a+b \sqrt{7} i}{2} :a,b \in Z \Rightarrow a+b \equiv 0 \mod{4}$

首先，$P(1):\frac{-1+1 \cdot \sqrt{7} i}{2} a=-1, b=1$ 显然成立。

当$P(x)$ 成立时有 $r^x = \frac{a+b \sqrt{7} i}{2} :a,b \in Z \Rightarrow a+b \equiv 0 \mod{4}$

那么：

$$r^{x+1}=r^x \cdot r=\frac{a+b \sqrt{7} i}{2} \times \frac{-1+\sqrt{7} * i}{2}=\frac{\frac{-a-7b}{2}+\frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{7} i}{2}$$

所以：

$$P(x+1)\Leftrightarrow \frac{-a-7b}{2}+\frac{a-b}{2}=-4b(b \in Z) \rightarrow -4b \equiv 0 \mod 4$$

由此可得$P(x):x \in N^*$ 均成立。

也可以顺便证得另一个结论:

$$c=\frac{a+b \cdot \sqrt{7} i}{2}(a,b \in Z),c \cdot r=\frac{\frac{-a-7b}{2}+\frac{a-b}{2}\cdot \sqrt{7} i}{2} \Rightarrow real(c\cdot r)+imag(c\cdot r)=-4b \equiv 0 \mod 4$$

↑这个结论后文中会用到。

假设$max(S) \leq n$ ，用$S_i$ 表示集合S中从小到大数第i个元素（i大于元素总个数，令$S_i=0$）。

再定义一个数列$A_{1..n}$ 满足

$$A_x=\left \{\begin{aligned} 0: x \notin S \\ 1: x \in S \end{aligned} \right.$$

则有：

$$x + y \sqrt{7} i = \sum_{k \in S}{r^k}=\sum_{k=0}^{n}{A_k \cdot r^k}$$

该式可以看成是一个关于r的n次多项式，可用秦九韶算法进行处理。

$$\sum_{k=0}^{n}{A_k \cdot r^k}=((...(((A_n\cdot r)+A_{n-1}) \cdot r + A_{n-2}) \cdot r+...) \cdot r + A_1 ) \cdot r + A_0$$

先分析$A_0$ 的值是多少，此时$q=\frac{2x+2y\cdot \sqrt{7}i}{2}$ ，若$2x+2y \neq 0 \mod 4$ ,证明$A_0=1$（因为它表示不成r的c倍的形式，c的定义见上文。）而当$2x+2y \equiv 0 \mod 4$，不难发现一定有 $A_0=0$ 成立，证明如下：

假设$A_0=1$，那么有:

$$q=\frac{2x+2y\cdot \sqrt{7}i}{2}=((...(((A_n\cdot r)+A_{n-1}) \cdot r + A_{n-2}) \cdot r+...) \cdot r + A_1 ) \cdot r + 1$$

所以:

$$q-1=\frac{2(x-1)+2y\cdot \sqrt{7}i}{2}=((...(((A_n\cdot r)+A_{n-1}) \cdot r + A_{n-2}) \cdot r+...) \cdot r + A_1 ) \cdot r$$

又因为：

$$x,y \in 且 2x+2y \equiv 0 \mod 4$$

所以：

$$2(x-1)+2y \equiv 2 \neq 0 \mod 4$$

即：$q-1$ 不能表示成 $c\cdot r$ 的形式，显然与：

$$q-1=((...(((A_n\cdot r)+A_{n-1}) \cdot r + A_{n-2}) \cdot r+...) \cdot r + A_1 ) \cdot r$$

矛盾。

所以$A_0=0$充要得证。

分析完$A_0$ 我们将$q$减去$A_0$ 再除以$r$ ，现在$A_1$ 和刚才的$A_0$ 就出在了完全相同的地位了，可以同理得出。直到一个时刻$q=0$，说明这个多项式已经被满足，结束运算即可。

代码

附上95分代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

struct complex{
    long long real,imag;
};
typedef struct complex complex;

#define DEBUG (0)
#define debug   if(DEBUG)
#define runtime if(!DEBUG)

int main(){
    runtime{
        freopen("verlauf.in","r",stdin);
        freopen("verlauf.out","w",stdout);
    }
    long long x,y;
    scanf("%lld%lld",&x,&y);
    x*=2;y*=2;
    debug{
        printf("x=%lld y=%lld\n",x,y);
    }
    int i;
    for(i=0;!(x==0 && y==0);i++){
        debug printf("i=%d x=%lld y=%lld\n",i,x,y);
        if((x+y)%4!=0){//has value
            runtime printf("%d ",i);
            debug printf("[%d] ",i);
            x-=2;
        }
        long long nx=(7*y-x)/4;
        long long ny=(-x-y)/4;
        x=nx;y=ny;
    }
    return 0;
}