CF 1798BC

我自己都看不懂我自己证了个什么鬼。

B

题意

题目链接：1798B

有一个抽奖活动，总共举行 $m$ 天。第 $i$ 天有 $n_i$ 人参加抽奖，这 $n_i$ 个人的编号分别为 $a_{i,1}\cdots a_{i,n_i}$（两个人是同一个人当且仅当编号相同）。在 $m$ 天中，每天都有且仅有一个人中奖，这个人在当天的所有参加者中产生。每当一个人中奖后，他将不会继续参加接下来的日子中的任何比赛。

已知 $m$、序列 $n$ 以及 $a$ 中的所有值，试分析每天中中奖的人是谁，并输出任意一种给合法的方案。如果不存在合法的方案，输出 $-1$。

数据范围

$$\sum _{i=1}^m{n}_i\le 5\times 10^4$$

思路

设 $S_i$ 表示第 $i$ 天参加抽奖的人的集合，$U_i$ 表示所有可以在第 $i$ 天获奖的人的集合，其中：

$$U_i=S_i-(S_{i+1}\cup S_{i+2}\cup \cdots \cup S_m),i=1,2,\cdots ,m$$

编号为 $x$ 的人可以在第 $i$ 天获奖，当且仅当它在第 $i$ 天参与抽奖，且它在第 $i+1,i+2,\cdots ,m$ 天均不参与抽奖。换言之，$x\in U_i$ 是 $x$ 能在第 $i$ 天获奖的必要条件。

如果存在一个 $i$ 使得 $U_i=\varnothing$，那么最终一定不存在合法的方案，因为在该天一定不可能有人获奖，这与前文中要求的“每天恰有一人获奖”矛盾。我们可以证明，如果任意 $i$ 都有 $U_i\ne \varnothing$，则一定有合法的方案，对于第 $i$ 天，任取 $U_i$ 中一个人作为获奖者即可。

C

题目链接：1798C

题意

有一个货架上摆着一排糖果，其中第 $i$ 种糖果有 $a_i$ 个，每颗糖单价为 $b_i$。如果相邻的一段糖果具有相同的单价，那么我们可以让这些糖果共用同一个单价标签。为了尽可能的使用更少的单价标签，我们可以将第 $i$ 种糖果装进 $x$ 个袋子（其中 $x$ 必须为 $a_i$ 的因子），使得该种糖果单价变为 $x\cdot b_i$。

数据范围

$$1\le a_i\le 10^9,1\le b_i\le 10^4,n\le 2\times 10^5$$

思路

两堆相邻糖果能够使用相同的单价的充要条件是：$a_i$ 是 $\frac{\text{lcm}(b_i,b_{i+1})}{b_i}$ 的倍数且 $a_{i+1}$ 是 $\frac{\text{lcm}(b_i,b_{i+1})}{b_{i+1}}$ 的倍数，最终二者的“单价”均被改为 $\text{lcm}(b_i,b_{i+1})$。对于一个区间 $[l,r]$ 而言，这个区间可以共用一个“单价”的条件是对于所有 $i\in [l,r]$ 都有 $a_i$ 是 $\frac{\text{lcm}(b_l,b_{l+1},\cdots ,b_r)}{b_i}$ 的倍数。考虑这样的一个合并变换：

$$(a_i,b_i),(a_{i+1},b_{i+1})\Rightarrow (\gcd (\frac{a_i}{\text{lcm}/b_i},\frac{a_{i+1}}{\text{lcm}/b_{i+1}}),\text{lcm})$$

其中 $\text{lcm}=\text{lcm}(b_i,b_{i+1})$。在这种变换后，两种糖果会被视为一种糖果。我们从左至右考虑所有糖果种类，如果第 $i$ 种糖果可以和上一种糖果合并，就使用上述变换将这两堆糖果“合并”成一堆。假设 $(A^{\prime },B^{\prime })$ 是由 $(a_1,b_1),(a_2,b_2)$ 通过合并变换产生的，那么 $(A^{\prime },B^{\prime })$ 能和 $(a_3,b_3)$ 合并成一堆，等价于 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)$ 可以合并成一堆。

贪心考虑每一堆能否和上一堆进行合并变换，如果能的话就将合并后的新堆送入一个队列尾部，如果不能则将当前堆送入队列尾部。可以证明，最终队列中元素个数就是最少的标签数。