Codechef July15 EASYEX

　　来自2016集训队作业。

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　　题意：有$1..K共K$个数，选$n$次，求$1..L$的出现次数的乘积的$F$次方的期望模2003，$F\leq 1000,L*F\leq 50000$。

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　　令$x_{i,j}$表示在第$i$轮里数$j$是否被选中，则所求为$\prod_{i=1}^{L} (\sum_{j=1}^n x_{j,i})^F$的期望。
　　考虑这个式子完全展开后的形态，如果某个项里存在同一轮的两个不同数的变量，那么这个项的贡献显然是0。每个变量为$1$的概率是$1/K$，所以每一项的期望我们可以很容易的算出来。同时可以注意到，项和项之间都是独立的，由期望线性性，现在我们单独考虑某个项的系数，最后再把所有项的期望加到一起。
　　设$f_{i,j}$表示只含前$i$个数的变量，这个单项式里有$j$个不同的变量。先不考虑每轮之间怎么选，注意每次加的变量的轮数和别的变量的轮数不能相同，所以我们可以直接在$(\sum_{j=1}^n x_j,i)^F$这个式子里选$k$个变量出来，这相当于是将$F$个本质不同的数分成$k$个集合，也就是斯特林子集数$S(F,k)$，所以我们可以有转移$f_{i,j}=\sum_{k=1}^F f_{i-1,j-k}S(F,k)$。
　　因为我们每次只会加$F$个变量， 所以最后总共也只有$L*F$项，所以这可以用倍增FFT优化。
　　最后答案还要算回选的变量的顺序，所以答案是
　　

$$\sum_{k=L}^{LF}n^{\underline{k}}K^kf_{L,k}$$
　　到这里的时间复杂度是$T(L)=T(L/2)+O(LF\log (LF))=O(LF\log (LF)\log L)$。
　　然而仔细观察答案的式子里有$n^{\underline{k}}$这一项，当$k\geq 2003$时必然有模2003为0。所以我们可以只用$1...2003$的项，这样直接暴力卷积就比FFT快了。