快速幂

超级详细的基础算法和数据结构合集：
https://blog.youkuaiyun.com/GD_ONE/article/details/104061907

摘要

本文主要介绍快速幂算法，快速幂虽然代码简单，但是往往会与其他算法相结合，很重要。

引言

当我们计算 $n^k$时，常用的做法是对$n$连乘$k$次， 但如果$k$特别大，假如$k=1e6$， 如果仍然对$n连乘1e6$次的话，时间消耗就太大了。那么我们如何
在短时间内求出一个数的$k$次方呢。

求$n^k$

我们可以考虑对朴素方法进行优化。
1：当我们计算得到$n^2$时, 我们可以直接使用$n^2$连乘$k/2$次。 这样做时间复杂度变为了$O(n/2)$
2：有人可能会问，我们既然可以用$n^2连乘k/2$次，为什么不用$n^4$连乘$k/4$次呢,当然可以这样做之后时间复杂度变为了$O(n/4)$;
3 : 我们当然也可以$n^8,n^{16}...连乘$
4：所以我们可以用：$n^1\ast n^2\ast n^4\ast n^8...n^p$
快速幂就是类似的思想。

快速幂

先举个例子：
$3^{11}=3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1\ast 3^1$
$11的二进制表示为：1011$
怎么把一个二进制数转化为十进制数呢？
计算过程是：$11=1\ast 2^0+1\ast 2^1+0\ast 2^2+1\ast 2^3=1+2+0+8$
我们可以发现：如果将最开始求$3^{11}$变为：$3^{11}=3^1\ast 3^2\ast 3^0\ast 3^8$， 计算量将会大大减少，原本需要乘11次，现在只需要乘4次。

另外，我们需要判断二进制数的某一位是不是0，我们可以使用位运算方便的解决该问题。

快速幂代码：

public static int qmi(int a, int b){ //求 a^b
	int res = 1; // res保存结果
	while(b != 0){
		if((b & 1) == 1){ //如果k的二进制数的最后一位是 1。 比如1011 & 1 = 1
			res = (res * a) % mod;//取模， 防止结果溢出。
		}
		a = a * a % mod;//得到 a^1, a^2, a^4, a^8, .....
		b = b >> 1; //将b右移一位，去掉最低位。为了开始判断下一位。
	}
	return res;
}

代码很简单，多看几遍就懂了。如果对位运算不熟悉可以翻看之前的博客。